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Prodotti notevoli

 

La moltiplicazione fra polinomi presenta alcuni casi particolari, i cui risultati si chiamano prodotti notevoli.

Somma di due monomi per la loro differenza: (A+ B) (A – B)= A² – B²

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è il binomio costituito dalla differenza fra il quadrato del monomio che non cambia segno e il quadrato del monomio che cambia segno.

Esempi:

(x + 3) (x – 3) = x² – 9

(4a + 3b²) (4a – 3b²) = (4a)² – (3b²)² = 16a² – 9 b^{4}

Quadrato di un binomio : (A + B)² = A² + 2AB + B²

Il quadrato di un binomio è il trinomio che ha come termini: il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo, il quadrato del secondo termine.

Esempi

(3x + 2y)² = (3x)² + 2·3x·2y + (y)² = 3x² + 12xy + y²

(b + 4) =( b)² + 2·4·b + (4)²=  b² + 8b + 16

(a² – 3b) = (a²)² + 2· (a²) · (-3b) + (-3b)² =  a^{4} -6a²b + 9b²

Quadrato di un trinomio: (A + B + C)² = A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC

Il quadrato di un trinomio è il polinomio che ha come termini i quadrati dei tre termini e il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue.

Esempi

(a + 2b + 3)² = a² + (2b)²+ 9 + 2·a·2b+ 2·a·3 + 2·2b·3= a² + 4b² + 9 + 4ab + 6a + 12b

(3a – b – 2c) = (3a)² + (-b)² + (-2c)²+2· 3a· (-b) + 2·3a·(-2c) + 2·(-b)· (-2c)= 9a²+b²+4c²-6ab-12ac+4bc

   
 

Il cubo di un binomio: (A+B)³=A³+3A²B+3AB²+B³

Il cubo di un binomio è il quadrinomio che ha come termini: il cubo del primo termine, il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo del primo termine per il quadrato del secondo, il cubo del secondo termine.

Esempi

(2x²-y²)³= (2x²)³+3(2x²)²(-y²)+3(2x²)(-y²)²+(-y²)³ = 8 x^{6} – 12 x^{4}y ^{2} +6x²y ^{4} – y ^{6}

La potenza di un binomio: (A+B) ^{n}

Potremmo continuare a calcolare le altre potenze di un binomio usando quelle già conosciute. Per esempio:

(A+B) ^{4}(A+B) ^{3}· (A+B)=….

Esiste però un metodo pratico per conoscere i coefficienti dello sviluppo di binomi.

triangolo-di-tartaglia
triangolo di tartaglia

Questa rappresentazione si chiama triangolo di Tartaglia.

I numeri 1 vengono posti al vertice e per tutto il contorno del triangolo escluso alla base;

sotto la coppia di numeri consecutivi della riga precedente, scriviamo la loro somma , e così via per ogni riga.

Per esempio per sviluppare (a+b) ^{5} vediamo la fila 5 del triangolo prendendo i numeri corrispondenti che saranno i coefficienti, invece la parte letterale verrà ordinata la a con coefficienti in ordine decrescente da 5 a 0, invece la b verrà messa in ordine crescente quindi avremo:

(a+b) ^{5}=a ^{5}+5a ^{4}b+10 a³b²+10a²b³+5ab ^{4} + b ^{5}

 

Programma matematica primo superiore

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