Esercizi sul prodotto di due frazioni algebriche

Esercizio n° 1

Esegui la seguente moltiplicazione.

$\frac{ 25x ^{3}y}{81y ^{2}}$ · $(-\frac{ 54y ^{2}}{75x ^{4}})$ =

Esercizio n° 2

Esegui la seguente moltiplicazione.

$(\frac{ 12a ^{2}b ^{4}}{-5x ^{3}y ^{3}})$ $(-\frac{ 1}{2a})$ $(\frac{ 10x ^{2}y ^{3}}{ab ^{3}})$

Esercizio n° 3

Esegui la seguente moltiplicazione.

$\frac{ x^{2}-y ^{2}}{x ^{2}+ y ^{2}}$ · $\frac{ x^{4}-y ^{4}}{x + y }$ =

Esercizio n° 4

Esegui la seguente moltiplicazione.

3x · $\frac{x+y}{x - y}$ · $\frac{2xy - x ^{2}-y ^{2}}{x ^{2}+y ^{2}+2xy}$ =

Esercizio n° 5

Esegui la seguente moltiplicazione.

$\frac{ b ^{3}-8}{8+b^{3}}$ · $\frac{ b +2}{4 + 2b +b^{2}}$

Esercizio n° 6

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(3a + $\frac{3a - 1}{2}$ )( 3a – $\frac{3a }{1 - 3a}$ ) · $\frac{6a - 2 }{9a - 1}$

Esercizio n° 7

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

$(b- \frac{1}{b})(1 + \frac{2}{b})$ $\frac{b ^{2}}{b ^{2} + 2 + 3b}$

Esercizio n° 8

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

$(\frac{2a}{a-3}-\frac{12}{a ^{2} -8a + 15})$ · $\frac{a-5}{a-6}$

Esercizio n° 9

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

$(\frac{1}{x - x ^{2}}+\frac{2x}{1 - x ^{2}} -\frac{1}{1 - x })$ · $\frac{x ^{2}+1 + 2x}{x ^{2+1}$ · $\frac{x }{x +1}$

Esercizio n° 1o

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

x² + 2x + 1 $-\frac{1 }{x ^{2}-2x+1}+ \frac{2x ^{2}(x - 1) }{x ^{3}-3x ^{2}+3x-1}$

Svolgimento

Esercizio n° 1

Esegui la seguente moltiplicazione.

$\frac{ 25x ^{3}y}{81y ^{2}}$ · $(-\frac{ 54y ^{2}}{75x ^{4}})$ = C.E. y≠0 ; x≠

Semplifichiamo o in verticale o in diagonale. Consideriamo prima i coefficienti.

= $\frac{ x ^{3}y}{3y ^{2}}$ · $(-\frac{ 2y ^{2}}{3x ^{4}}) =$ poi semplifichiamo le due y² in diagonale e otteniamo :

$= \frac{ x ^{3}y}{3}$ · $(-\frac{ 2}{3x ^{4}})$ = poi semplifico le x sempre in diagonale:

$= \frac{ y}{3}$ · $(-\frac{ 2}{3x })$ = $-\frac{ 2y}{9x }$

Esercizio n° 2

Esegui la seguente moltiplicazione.

$(\frac{ 12a ^{2}b ^{4}}{-5x ^{3}y ^{3}})$ $(-\frac{ 1}{2a})$ $(\frac{ 10x ^{2}y ^{3}}{ab ^{3}})$ = C.E. y≠0 ; x≠0 ; a≠0 ; b≠0

semplifichiamo prima i numeri; il 12 con il 2 e il 10 con il 5 e otteniamo:

= $(\frac{ 6a ^{2}b ^{4}}{-x ^{3}y ^{3}}) (-\frac{ 1}{a}) (\frac{ 2x ^{2}y ^{3}}{ab ^{3}})$ = semplifichiamo le a otteniamo:

= $(\frac{ 6 b ^{4}}{-x ^{3}y ^{3}}) (-1) (\frac{ 2x ^{2}y ^{3}}{b ^{3}})$ =semplifichiamo le b e la y³ e otteniamo:

= $(\frac{ 6 b }{-x ^{3}}) (-1) ({ 2x ^{2})$ = $(-\frac{ 6 b }{x }) (-1) ({ 2)$ = $+\frac{12b}{x}$

Esercizio n° 3

Esegui la seguente moltiplicazione.

$\frac{ x^{2}-y ^{2}}{x ^{2}+ y ^{2}}$ · $\frac{ x^{4}-y ^{4}}{x + y }$ = C.E. x≠± $\sqrt{y ^{2}}$ ; x≠-y

Scomponiamo prima i numeratori che sono entrambe differenze di quadrati.

= $\frac{(x-y)(x+y) }{x ^{2}+ y ^{2}}$ · $\frac{ (x^{2}-y ^{2})(x^{2}+y ^{2})}{x + y }$ =semplifichiamo in obliquo ( x+y) e (x²+y²)

= (x-y)(x² – y²)= (x-y)(x+y)(x-y) = (x+y)(x-y)²

Esercizio n° 4

Esegui la seguente moltiplicazione.

3x · $\frac{x+y}{x - y}$ · $-\frac{-2xy + x ^{2}+y ^{2}}{x ^{2}+y ^{2}+2xy}$ = scomponiamo il numeratore e denominatore della terza frazione sono entrambe dei quadrati di binomi. Bisogna prima cambiare di segno al numeratore

= 3x · $\frac{x+y}{x - y}$ · $-(\frac{-2xy + x ^{2}+y ^{2}}{x ^{2}+y ^{2}+2xy})$ = 3x · $\frac{x+y}{x - y}$ · $-\frac{( x -y )^{2}}{( x +y )^{2}$ = C.E. x≠y

Semplifico in diagonale

= 3x · $-\frac{( x -y )}{( x +y )}$ = $\frac{3x(- x +y )}{( x +y )}$

Esercizio n° 5

Esegui la seguente moltiplicazione.

$\frac{ b ^{3}-8}{8+b^{3}}$ · $\frac{ b +2}{4 + 2b +b^{2}}$ =

scomponiamo b³ -8 che è una differenza di cubi = (b – 2)(b² + 2b + 4)

scomponiamo b³+8 =(b + 2)(b² – 2b + 4)

Quindi:

$\frac{ (b-2)(b ^{2}+2b+4)}{(b+2)(b ^{2}-2b+4)}$ · $\frac{ b +2}{4 + 2b +b^{2}}$ = C.E. b≠-2 ; b²-2b+4≠0

semplifichiamo (b² + 2b + 4) in obliquo e ( b+2) in obliquo

= $\frac{ (b-2)}{(b ^{2}-2b+4)}$

Esercizio n° 6

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(3a + $\frac{3a - 1}{2}$ )( 3a – $\frac{3a }{1 - 3a}$ ) · $\frac{6a - 2 }{9a - 1}$ =

facciamo prima di tutto il m.c.m. tra le parentesi.

= $(\frac{6a + 3a - 1}{2})$ [ $\frac{3a(1-3a)-3a}{1 - 3a}$ ] · $\frac{6a - 2}{9a - 1}$ = C.E. a≠ $\frac{1}{3}$ ; a≠ $\frac{1}{9}$

= $(\frac{6a + 3a - 1}{2})$ $(\frac{3a - 9a ^{2} - 3a}{1-3a})$ · $\frac{6a - 2}{9a - 1}$ =

= $(\frac{9a - 1}{2})$ $(-\frac{ 9a ^{2} }{1-3a})$ · $\frac{6a - 2}{9a - 1}$ =

= $(\frac{9a - 1}{2})$ $(-\frac{ 9a ^{2} }{1-3a})$ · $\frac{2(3a - 1)}{9a - 1}$ = semplifico 9a – 1 e il 2

= $(-\frac{ 9a ^{2} }{1-3a})$ · (3a – 1) = il meno servirà per cambiare il segno al denominatore.

= $(\frac{ 9a ^{2} }{-1+3a})$ ·(3a – 1) = semplifico 3a -1 = 9a²

Esercizio n° 7

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

$(b- \frac{1}{b})(1 + \frac{2}{b})$ $\frac{b ^{2}}{b ^{2} + 2 + 3b}$ =

Facciamo prima il m.c.m. tra le parentesi:

= $(\frac{ b^{2} - 1}{b})$ $(\frac{b + 2}{b})$ $\frac{b ^{2}}{b ^{2}+2 + 3b}$ = il terzo denominatore si può scomporre come (b+1)(b+2)

= $(\frac{( b - 1)(b+1)}{b})(\frac{b + 2}{b}) \frac{b ^{2}}{(b +1)(b+2)}$ = C.E. b≠0 ; b≠-1 ; b≠-2

Semplifichiamo b+1 e b+2

= semplifico (b+1) e (b+2) con l’ultima frazione quindi ottengo:

= $(\frac{( b - 1)}{b})(\frac{1}{b}) (b ^{2})$ = semplifico le b e ottengo:

= (b – 1)

Esercizio n° 8

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

$(\frac{2a}{a-3}-\frac{12}{a ^{2} -8a + 15})$ · $\frac{a-5}{a-6}$ =

= scompongo il secondo denominatore che è (x-3)(x -5) quindi:

= $(\frac{2a}{a-3}-\frac{12}{(a-5)(a-3)})$ · $\frac{a-5}{a-6}$ =facciamo il m.c.m delle frazioni tra parentesi:

= $\frac{2a(a-5)-12}{(a-5)(a-3)}$ · $\frac{a-5}{a-6}$ = $\frac{2a ^{2}-10a-12}{(a-5)(a-3)}$ · $\frac{a-5}{a-6}$ = $\frac{2(a ^{2}-5a-6)}{(a-5)(a-3)}$ · $\frac{a-5}{a-6}$ C.E. a≠5; a≠3 ; a≠6

il primo numeratore si può scomporre come (x-6)(x+1)

= $\frac{2(a -6)(a+1)}{(a-5)(a-3)}$ · $\frac{a-5}{a-6}$ = semplificando otteniamo :

= $\frac{2(a+1)}{(a-3)}$

Esercizio n° 9

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

$(\frac{1}{x - x ^{2}}+\frac{2x}{1 - x ^{2}} -\frac{1}{1 - x })$ · $\frac{x ^{2}+1 + 2x}{x ^{2+1}$ · $\frac{x }{x +1}$

= $(\frac{1}{x(1-x )}+\frac{2x}{(1 - x )(1+x)} -\frac{1}{1 - x })$ · $\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1}$ · $\frac{x }{x +1}$ =

il m.c.m. di quello tra parentesi è x(1-x)(1+x) quindi:

=( $\frac{1+x+2x ^{2}-x(1+x)}{x(1-x )(1+x)}$ ) · $\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1}$ · $\frac{x }{x +1}$ = C.E. x≠0 ; x≠1; x≠-1

= $\frac{1+x+2x ^{2}-x-x ^{2}}{x(1-x )(1+x)}$ · $\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1}$ · $\frac{x }{x +1}$ =

= $\frac{1+x ^{2}}{x(1-x )(1+x)}$ · $\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1}$ · $\frac{x }{x +1}$ = semplificando (x² + 1) , x e x+1 si ottiene:

= $\frac{1}{(1-x )}$

Esercizio n° 10

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

x² + 2x + 1 $-\frac{1 }{x ^{2}-2x+1}+ \frac{2x ^{2}(x - 1) }{x ^{3}-3x ^{2}+3x-1}$ = il terzo denominatore è il cubo di (x-1)³

(x+1)² $-\frac{1 }{(x-1 )^{2}}$ $+ \frac{2x ^{2}(x - 1) }{(x-1) ^{3}} =$ (x+1)² $-\frac{1 }{(x-1 )^{2}}$ $+ \frac{2x ^{2} }{(x-1) ^{2}} =$ il m.c.m. è (x-1)²