Esercizi sul prodotto di due frazioni algebriche

Esercizio n° 1

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ 25x ^{3}y}{81y ^{2}}  · (-\frac{ 54y ^{2}}{75x ^{4}}) =

Esercizio n° 2

Esegui la seguente moltiplicazione.

 (\frac{ 12a ^{2}b ^{4}}{-5x ^{3}y ^{3}})    (-\frac{ 1}{2a})   (\frac{ 10x ^{2}y ^{3}}{ab ^{3}})

Esercizio n° 3

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ x^{2}-y ^{2}}{x ^{2}+ y ^{2}}  · \frac{ x^{4}-y ^{4}}{x + y } =

Esercizio n° 4

Esegui la seguente moltiplicazione.

3x · \frac{x+y}{x - y} · \frac{2xy - x ^{2}-y ^{2}}{x ^{2}+y ^{2}+2xy}=

Esercizio n° 5

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ b ^{3}-8}{8+b^{3}} · \frac{ b +2}{4 + 2b +b^{2}}

Esercizio n° 6

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(3a + \frac{3a - 1}{2})( 3a – \frac{3a }{1 - 3a}) · \frac{6a - 2 }{9a - 1}

Esercizio n° 7

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(b- \frac{1}{b})(1 + \frac{2}{b}) \frac{b ^{2}}{b ^{2} + 2 + 3b}

Esercizio n° 8

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(\frac{2a}{a-3}-\frac{12}{a ^{2} -8a + 15})  · \frac{a-5}{a-6}

Esercizio n° 9

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(\frac{1}{x - x ^{2}}+\frac{2x}{1 - x ^{2}} -\frac{1}{1 - x })  · \frac{x ^{2}+1 + 2x}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}

Esercizio n° 1o

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

x² + 2x + 1 -\frac{1 }{x ^{2}-2x+1}+ \frac{2x ^{2}(x - 1) }{x ^{3}-3x ^{2}+3x-1}

    

Svolgimento

Esercizio n° 1

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ 25x ^{3}y}{81y ^{2}}  · (-\frac{ 54y ^{2}}{75x ^{4}}) =           C.E.        y≠0   ; x≠

Semplifichiamo o in verticale o in diagonale. Consideriamo prima i coefficienti.

 \frac{ x ^{3}y}{3y ^{2}}   · (-\frac{ 2y ^{2}}{3x ^{4}}) =  poi semplifichiamo le due y² in diagonale e otteniamo :

= \frac{ x ^{3}y}{3}  · (-\frac{ 2}{3x ^{4}})= poi semplifico le x sempre in diagonale:

 = \frac{ y}{3}  · (-\frac{ 2}{3x }) = -\frac{ 2y}{9x }

Esercizio n° 2

Esegui la seguente moltiplicazione.

 (\frac{ 12a ^{2}b ^{4}}{-5x ^{3}y ^{3}})    (-\frac{ 1}{2a})   (\frac{ 10x ^{2}y ^{3}}{ab ^{3}}) =        C.E.        y≠0   ; x≠0    ;    a≠0   ; b≠0

semplifichiamo prima i numeri; il 12 con il 2 e il 10 con il 5 e otteniamo:

= (\frac{ 6a ^{2}b ^{4}}{-x ^{3}y ^{3}}) (-\frac{ 1}{a}) (\frac{ 2x ^{2}y ^{3}}{ab ^{3}}) = semplifichiamo le a otteniamo:

=  (\frac{ 6 b ^{4}}{-x ^{3}y ^{3}}) (-1) (\frac{ 2x ^{2}y ^{3}}{b ^{3}})  =semplifichiamo  le b e la y³ e otteniamo:

= (\frac{ 6 b }{-x ^{3}}) (-1) ({ 2x ^{2}) = (-\frac{ 6 b }{x }) (-1) ({ 2) +\frac{12b}{x}

Esercizio n° 3

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ x^{2}-y ^{2}}{x ^{2}+ y ^{2}}  · \frac{ x^{4}-y ^{4}}{x + y } =          C.E.        x≠±\sqrt{y ^{2}}   ;  x≠-y

Scomponiamo prima i numeratori che sono entrambe differenze di quadrati.

\frac{(x-y)(x+y) }{x ^{2}+ y ^{2}}  · \frac{ (x^{2}-y ^{2})(x^{2}+y ^{2})}{x + y } =semplifichiamo in obliquo ( x+y) e (x²+y²)

= (x-y)(x² – y²)= (x-y)(x+y)(x-y) = (x+y)(x-y)²

Esercizio n° 4

Esegui la seguente moltiplicazione.

3x · \frac{x+y}{x - y} · -\frac{-2xy + x ^{2}+y ^{2}}{x ^{2}+y ^{2}+2xy}= scomponiamo il numeratore e denominatore della terza frazione sono entrambe dei quadrati di binomi. Bisogna prima cambiare di segno al numeratore

= 3x · \frac{x+y}{x - y} ·  -(\frac{-2xy + x ^{2}+y ^{2}}{x ^{2}+y ^{2}+2xy})= 3x · \frac{x+y}{x - y} ·  -\frac{( x -y )^{2}}{( x +y )^{2}=         C.E.      x≠y

Semplifico in diagonale

=  3x ·  -\frac{( x -y )}{( x +y )} =  \frac{3x(- x +y )}{( x +y )}

Esercizio n° 5

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ b ^{3}-8}{8+b^{3}} · \frac{ b +2}{4 + 2b +b^{2}}=

scomponiamo b³ -8 che è una differenza di cubi = (b – 2)(b² + 2b + 4)

scomponiamo  b³+8 =(b + 2)(b² – 2b + 4)

Quindi:

\frac{ (b-2)(b ^{2}+2b+4)}{(b+2)(b ^{2}-2b+4)}   · \frac{ b +2}{4 + 2b +b^{2}}=         C.E.     b≠-2   ;        b²-2b+4≠0

semplifichiamo (b² + 2b + 4) in obliquo e ( b+2) in obliquo

\frac{ (b-2)}{(b ^{2}-2b+4)}

  

Esercizio n° 6

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(3a + \frac{3a - 1}{2})( 3a – \frac{3a }{1 - 3a}) · \frac{6a - 2 }{9a - 1}=

facciamo prima di tutto il m.c.m. tra le parentesi.

(\frac{6a + 3a - 1}{2}) [ \frac{3a(1-3a)-3a}{1 - 3a}] ·\frac{6a - 2}{9a - 1}=           C.E.        a≠\frac{1}{3}   ; a≠\frac{1}{9}

=  (\frac{6a + 3a - 1}{2})(\frac{3a - 9a ^{2} - 3a}{1-3a})  · \frac{6a - 2}{9a - 1}=

 (\frac{9a - 1}{2}) (-\frac{ 9a ^{2} }{1-3a})  ·  \frac{6a - 2}{9a - 1}=

 (\frac{9a - 1}{2}) (-\frac{ 9a ^{2} }{1-3a})  ·  \frac{2(3a - 1)}{9a - 1}= semplifico 9a – 1 e il 2

=  (-\frac{ 9a ^{2} }{1-3a})  · (3a – 1) = il meno servirà per cambiare il segno al denominatore.

 (\frac{ 9a ^{2} }{-1+3a})  ·(3a – 1)  = semplifico 3a -1 =  9a²

Esercizio n° 7

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(b- \frac{1}{b})(1 + \frac{2}{b}) \frac{b ^{2}}{b ^{2} + 2 + 3b}=

Facciamo prima il m.c.m. tra le parentesi:

=(\frac{ b^{2} - 1}{b})(\frac{b + 2}{b}) \frac{b ^{2}}{b ^{2}+2 + 3b}= il terzo denominatore si può scomporre come (b+1)(b+2)

(\frac{( b - 1)(b+1)}{b})(\frac{b + 2}{b}) \frac{b ^{2}}{(b +1)(b+2)}=     C.E.        b≠0   ; b≠-1  ; b≠-2

Semplifichiamo b+1 e b+2

= semplifico (b+1) e (b+2) con l’ultima frazione quindi ottengo:

= (\frac{( b - 1)}{b})(\frac{1}{b}) (b ^{2})= semplifico le b e ottengo:

= (b – 1)

Esercizio n° 8

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(\frac{2a}{a-3}-\frac{12}{a ^{2} -8a + 15})  · \frac{a-5}{a-6}=

= scompongo il secondo denominatore che è (x-3)(x -5) quindi:

(\frac{2a}{a-3}-\frac{12}{(a-5)(a-3)}) · \frac{a-5}{a-6}=facciamo il m.c.m delle frazioni tra parentesi:

\frac{2a(a-5)-12}{(a-5)(a-3)}  · \frac{a-5}{a-6}=   \frac{2a ^{2}-10a-12}{(a-5)(a-3)}  · \frac{a-5}{a-6}\frac{2(a ^{2}-5a-6)}{(a-5)(a-3)}  · \frac{a-5}{a-6}    C.E.  a≠5;    a≠3 ;   a≠6

il primo numeratore si può scomporre come (x-6)(x+1)

= \frac{2(a -6)(a+1)}{(a-5)(a-3)} · \frac{a-5}{a-6}=  semplificando otteniamo :

 \frac{2(a+1)}{(a-3)}

Esercizio n° 9

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(\frac{1}{x - x ^{2}}+\frac{2x}{1 - x ^{2}} -\frac{1}{1 - x })  · \frac{x ^{2}+1 + 2x}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}

=(\frac{1}{x(1-x )}+\frac{2x}{(1 - x )(1+x)} -\frac{1}{1 - x }) ·\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}=

il m.c.m. di quello tra parentesi è x(1-x)(1+x) quindi:

=(\frac{1+x+2x ^{2}-x(1+x)}{x(1-x )(1+x)} ) ·\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}=            C.E.  x≠0 ;  x≠1;    x≠-1

= \frac{1+x+2x ^{2}-x-x ^{2}}{x(1-x )(1+x)} ·\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}=

\frac{1+x ^{2}}{x(1-x )(1+x)} ·\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}= semplificando (x² + 1) , x e x+1 si ottiene:

\frac{1}{(1-x )}

Esercizio n° 10

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

x² + 2x + 1 -\frac{1 }{x ^{2}-2x+1}+ \frac{2x ^{2}(x - 1) }{x ^{3}-3x ^{2}+3x-1} =  il terzo denominatore è il cubo di (x-1)³

(x+1)² -\frac{1 }{(x-1 )^{2}} + \frac{2x ^{2}(x - 1) }{(x-1) ^{3}} = (x+1)² -\frac{1 }{(x-1 )^{2}}+ \frac{2x ^{2} }{(x-1) ^{2}} = il m.c.m. è (x-1)²

\frac{(x-1 )^{2}(x+1 )^{2}-1 +2x^{2} }{(x-1 )^{2}} = \frac{x^{2}+1 -2x +x^{2}+1+2x -1 +2x^{2} }{(x-1 )^{2}}=   C.E,     x≠1

= \frac{(x^{2}+1-2x) ( +x^{2}+1+2x) -1 +2x^{2} }{(x-1 )^{2}} =

=\frac{x^{4}+x^{2}+2x^{3}+x^{2}+1+2x-2x^{3}-2x-4x^{2}-1 +2x^{2} }{(x-1 )^{2}}=  x^{4}

 

Programma matematica primo superiore