Esercizi sulle addizioni e sottrazioni frazioni algebriche

Esercizio n° 1

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{2}{a^{2}b}+\frac{3}{ab^{2}}-1$ =

Esercizio n° 2

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a ^{2}-ab +2a}{ab - a + b - 1}$ – $\frac{b}{1-b}$

Esercizio n° 3

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{ a^{2}-b ^{2}}{ab}+ \frac{2b}{a}+2 -$ $\frac{ (a+b )^{2}}{ab}$ =

Esercizio n° 4

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{2}{3x + 3}- \frac{x - 1}{9 - 9x ^{2}}- 3=$

Esercizio n° 5

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{ a^{2}}{ab - b ^{2}}-$ $\frac{ a^{2}+ b ^{2} }{ a^{2} - b ^{2}}-$ $\frac{ b ^{2} }{ab + b ^{2}}$

Esercizio n° 6

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{2+x}{x+3}$ $-\frac{3x - 1}{x ^{2}+x-6}$ $-\frac{x}{x+3}$ =

Esercizio n° 7

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{2x -5}{x + 7}$ + $\frac{2x +4}{x -9}$ $- \frac{3x ^{2}+13x - 8}{x ^{2}- 2x - 63}$ =

Esercizio n° 8

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{4x ^{2}y +y ^{3} }{4x ^{2}+y ^{2}-4xy }$ + 2x – y + $\frac{3y ^{2}y +4x ^{2} }{y - 2x}$

Esercizio n° 9

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

$\frac{ a^{2n}}{a ^{2n}+ b ^{2n}}$ + $\frac{ b^{2n}}{b ^{2n}+ a ^{2n}}$ + $\frac{1}{2}$ =

Esercizio n° 10

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

$-\frac{ 2a^{n}}{1- a ^{2n}}$ $+\frac{1}{1+ a ^{n}}$ $+\frac{1}{1- a ^{n}}$ =

Esercizio n° 11

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni di frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

$\frac{ x^{n}+2}{x ^{2n}+ x ^{n}}$ $-\frac{ 1}{x ^{n}}$ + $\frac{ x^{n}+1}{-x ^{2n} -2x ^{n}-1}$ =

Svolgimento

Esercizio n° 1

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{2}{a^{2}b}+\frac{3}{ab^{2}}-1$ =

Riduciamo la frazione allo stesso denominatore quindi facciamo il minimo comune multiplo che è a²b².

C.E.= a≠0; b≠0

Quindi al numeratore avremo (a²b²):( a²b)(2) + (a²b²):( ab²)(3) – (a²b²):(1)(1)=

=2b + 3a- a²b²= $\frac{2b + 3a+a ^{2}b ^{2} }{a ^{2}b ^{2}}$

Esercizio n° 2

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a ^{2}-ab +2a}{ab - a + b - 1}$ – $\frac{b}{1-b}$

Nella seconda frazione scomponiamo il denominatore con il raccoglimento parziale:

ab – a + b – 1 = a(b – 1)+(b-1) = (a+1)(b-1) quindi l’espressione sarà:

$\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a ^{2}-ab +2a}{(b-1)(a+1)}$ – $\frac{b}{1-b}$ – $\frac{b}{1-b}$ = + $\frac{b}{b-1}$

$\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a ^{2}-ab +2a}{(b-1)(a+1)}$ + $\frac{b}{b-1}$ il m.c.m.= (a+1)(b-1)

Il numeratore sarà (a+1)(b-1): (a+1)(a) + (a+1)(b-1): (a+1)(b-1)( a² – ab + 2a) + (a+1)(b-1): (b-1)(b)=

a(b-1) + a² – ab + 2a + b(a+1) = ab -a + a² -ab + 2a +ab + b= a² + a + ab +b= a(a+1)+b(a+1)=(a+1)(a+b)

$\frac{a}{a+1}$ + $\frac{a ^{2}-ab +2a}{(b-1)(a+1)}$ + $\frac{b}{b-1}$ = $\frac{(a+b)(a+1)}{(b-1)(a+1)}$ = $\frac{(a+b)}{(b-1)}$

Esercizio n° 3

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{ a^{2}-b ^{2}}{ab}+ \frac{2b}{a}+2 -$ $\frac{ (a+b )^{2}}{ab}$ =

Il m.c.m(ab, a, ab)= ab

= $\frac{a^{2}-b ^{2} +2b ^{2}+2 ab -a^{2}-b ^{2} -2 ab }{ab} =$

$\frac{0}{ab}=0$

Esercizio n° 4

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{2}{3x + 3}- \frac{x - 1}{9 - 9x ^{2}}- 3=$

Al primo denominatore mettiamo in evidenza il 3(x + 1) al secondo mettiamo in evidenza il 9(1 – x²) che a sua volta scomponiamo perchè è una differenza di quadrati quindi 9(1 – x)(1 + x).

Riscriviamo la frazione:

$\frac{2}{3(x + 1)}- \frac{x - 1}{9(1 - x)(1 + x)}- 3=$

Il m.c.m.= 9(1-x)(1+x) quindi:

$\frac{6(1-x)- (x - 1) -3 (9)(1-x)(1+x)}{9(1 - x)(1 + x)}=$

Cambio il segno degli elementi della seconda parentesi quindi -(x-1)=( – x + 1)

$\frac{6(1-x)+ (1-x) -3 (9)(1-x)(1+x)}{9(1 - x)(1 + x)}=$

Metto in evidenza (1-x) quindi:

$\frac{(1-x)[(6 + 1 - 27 (1+x)] }{9(1 - x)(1 + x)}=$

Semplifico 1-x al numeratore e denominatore:

$\frac{7 - 27 -27x }{9(1 + x)}=$ $\frac{-20 -27x }{9(1 + x)}=$ $- \frac{27x+20 }{9(1 + x)}=$

Esercizio n° 5

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{ a^{2}}{ab - b ^{2}}-$ $\frac{ a^{2}+ b ^{2} }{ a^{2} - b ^{2}}-$ $\frac{ b ^{2} }{ab + b ^{2}}$ =

Scompongo i denominatori :

ab – b²= b(a – b); a² – b²= (a-b)(a+b); ab + b²= b(a + b)

Il m.c.m. sarà b(a-b)(a+b).

= $\frac{ a^{2}(a+b)-b(a^{2}+ b ^{2})- b ^{2}(a-b) }{b(a+b)(a-b)}$ =

= $\frac{ a^{3}+a^{2}b-a^{2}b- b ^{3}- ab ^{2}+b ^{3} }{b(a+b)(a-b)}$ =

= $\frac{ a^{3}- ab ^{2} }{b(a+b)(a-b)}$ =

= $\frac{ a(a^{2}- b ^{2}) }{b(a+b)(a-b)}$ = $\frac{ a(a+b)(a-b)) }{b(a+b)(a-b)}$ = $\frac{a}{b}$

Esercizio n° 6

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{2+x}{x+3}$ $-\frac{3x - 1}{x ^{2}+x-6}$ $-\frac{x}{x+3}$ =

Bisogna scomporre il secondo denominatore con la scomposizione per i trinomi particolari

x² + x – 6 = (x + 3)(x – 2)

$=\frac{2+x}{x+3} -\frac{3x - 1}{(x + 3)(x - 2)} -\frac{x}{x+3}=$

Il m.c.m. è (x+3)(x -2)

= $\frac{(x-2)(2+x)- 3x + 1 -x(x - 2)}{(x + 3)(x - 2)}$ =

= $\frac{x ^{2}-4-3x + 1 - x ^{2}+2x}{(x + 3)(x - 2)}$ =

= $\frac{-3 - x}{(x + 3)(x - 2)}$ = $-\frac{3 + x}{(x + 3)(x - 2)}$ = $-\frac{1}{(x - 2)}$

Esercizio n° 7

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{2x -5}{x + 7}$ + $\frac{2x +4}{x -9}$ $- \frac{3x ^{2}+13x - 8}{x ^{2}- 2x - 63}$ =

Il terzo denominatore si deve scomporre con Ruffini. Quindi x² – 2x – 63 = (x -9)(x +7)

= $\frac{2x -5}{x + 7} + \frac{2x +4}{x -9} - \frac{3x ^{2}+13x - 8}{(x -9)(x+7)} =$

il m.c.m. = (x-9)(x+7)

= $\frac{(2x -5)(x - 9)+( 2x+4)(x + 7)-3x ^{2}-13x + 8 }{(x -9)(x+7)} =$

= $\frac{2x ^{2}-18x - 5x + 45 + 2x ^{2}+ 14x + 4x + 28 - 3x ^{2}-13x+8}{(x-9)(x+7)}$ =

= $\frac{ x^{2}-18x+81}{(x-9)(x+7)}$ = il numeratore x²-18x+81 si può semplificare con il trinomio particolare e viene (x-9)(x-9)

quindi:

= $\frac{ (x-9)(x-9)}{(x-9)(x+7)}$ = semplificando otteniamo $\frac{ (x-9)}{(x+7)}$

Esercizio n° 8

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

$\frac{4x ^{2}y +y ^{3} }{4x ^{2}+y ^{2}-4xy }$ + 2x – y + $\frac{3y ^{2} +4x ^{2} }{y - 2x}$ =

Il primo denominatore 4x² + y² – 4xy è un quadrato di un binomio quindi = (2x – y)². Cambiamo il segno all’ultima frazione cambiando così i segni del suo denominatore.

= $\frac{4x ^{2}y +y ^{3} }{(2x-y) ^{2}} + 2x - y - \frac{3y ^{2} +4x ^{2} }{-y + 2x}$ =

il m.c.m. è proprio (2x – y)²

= $\frac{4x ^{2}y +y ^{3}+ (2x-y)(2x-y) ^{2} -(3y ^{2} +4x ^{2} )(2x-y) }{(2x-y) ^{2}}$ =

= $\frac{4x ^{2}y +y ^{3} +(2x-y)(4x ^{2}+y ^{2}-4xy)-(3y ^{2} +4x ^{2} )(2x-y) }{(2x-y) ^{2}}{}$ =

= $\frac{4x ^{2}y +y ^{3} +8x ^{3}+2xy ^{2}-8x ^{2}y-4x ^{2}y -y ^{3}+4xy ^{2}-(6xy ^{2}-3y ^{3}+8x ^{3}-4x ^{2}y ) }{(2x-y) ^{2}}{}$ =

= $\frac{4x ^{2}y +y ^{3} +8x ^{3}+2xy ^{2}-8x ^{2}y-4x ^{2}y -y ^{3}+4xy ^{2}-6xy ^{2}+3y ^{3}-8x ^{3}+4x ^{2}y }{(2x-y) ^{2}}{}$ =

sommando i membri con la stessa parte letterale rimarrà:

= $\frac{-4x ^{2}y +3y ^{3} }{(2x-y) ^{2}}{}$

Esercizio n° 9

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

$\frac{ a^{2n}}{a ^{2n}+ b ^{2n}}$ + $\frac{ b^{2n}}{b ^{2n}+ a ^{2n}}$ + $\frac{1}{2}$ =

il minimo comune multiplo è $2(a ^{2n}+ b ^{2n})$ quindi:

= $\frac{ 2a^{2n}+2b^{2n}+a ^{2n}+ b ^{2n}}{2(a ^{2n}+ b ^{2n})}$ =

= $\frac{ 3a^{2n}+3b^{2n}}{2(a ^{2n}+ b ^{2n})}$ = $\frac{ 3(a^{2n}+b^{2n})}{2(a ^{2n}+ b ^{2n})}$ = semplificando otteniamo $\frac{3}{2}$

Esercizio n° 10

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

$-\frac{ 2a^{n}}{1- a ^{2n}}$ $+\frac{1}{1+ a ^{n}}$ $+\frac{1}{1- a ^{n}}$ =

il primo denominatore è una differenza di quadrati $(1- a ^{n})(1+ a ^{n})$ ed è anche il m.c.m.

= $\frac{ -2a^{n}+1- a ^{n}+1+ a ^{n}}{(1- a ^{n})(1+ a ^{n}) } =$

= $\frac{ -2a^{n}+2}{(1- a ^{n})(1+ a ^{n}) } =$ metto in evidenza il 2 al numeratore quindi:

= $\frac{ 2(-a^{n}+1)}{(1- a ^{n})(1+ a ^{n}) } =$ si può semplificare numeratore e denominatore $\frac{ 2}{(1+ a ^{n}) }$

Esercizio n° 11

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

$\frac{ x^{n}+2}{x ^{2n}+ x ^{n}}$ $-\frac{ 1}{x ^{n}}$ + $\frac{ x^{n}+1}{-x ^{2n} -2x ^{n}-1}$ =

al primo denominatore metto in evidenza $x^{n}(x ^{n}+1)$ ;