Scomposizione di un polinomio in fattori
Una operazione che ha molta importanza in algebra, per le sue applicazioni. è la scomposizione di un polinomio in fattori, cioè la trasformazione di una somma algebrica di più monomi in un prodotto. Non sempre questa scomposizione è possibile. Quindi i polinomi di dividono in riducibili o irriducibili.
Un polinomio in una o più variabili è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore.
Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.
Non esistono delle regole generali per ottenere la scomposizione di un polinomio riducibile. I metodi sono:
- raccoglimento a fattor comune;
- raccoglimento parziale;
- individuare i prodotti notevoli;
- riconoscere particolari trinomi di 2° grado;
- utilizzare la regola di Ruffini.
Raccoglimento a fattor comune
La più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori è quella di mettere in evidenza i fattori comuni.
Esempio:
- ab + av + ad = a(b +c+d)
- 9a² -6ab + 3ac = 3a(3a -2b + c)
- 12x²y² – 4xy³ -8x³
= 4xy²(3x – y – 2x²y²) - 2(a+b)³ – 3x(a+b)² – 5x²(a+b)= (a+b) [ (a+b)² -3x(a+b) – 5x² ]
- 5x³ – 10x² -35x = 5x(x² – 2x – 7)
Raccoglimento parziale
Se il polinomio è del tipo ax +bx + ay + by, si può mettere in evidenza, nei primi due termini, il fattore comune x e, negli ultimi due termini, il fattore comune y.
Quindi ax +bx + ay + by= x(a+b)+y(a+b); si può ancora mettere in evidenza a+b e avremo:
ax +bx + ay + by= x(a+b)+y(a+b)= (a+b)(x+y)
Esempi:
- 3a + 6b – 4a² – 8ab = 3(a+2b) – 4a(a +2b)= (a+2b)(+3-4a) nella scelta di cosa mettere in evidenza bisogna stare attenti e cercare accoppiare i numeri in modo che si possa proseguire con la messa in evidenza.
- xy – x + 2y – 2 = x(y-1) +2(y-1) = (y – 1)(x + 2)
- 3a² + 6ab + 3a²x +6abx = 3a(a + 2b + ax + 2bx) = 3a [a(1+x) + 2b(1 +x)] =3a (1+x)(a+2b)
- 1\3x² – 2\3x³y – 4a² +8a²xy = 1\3x²(1 – 2xy) – 4a²(1 – 2xy) = (1 -2xy)( 1\3x² -4a²)
- 5ab – 10b² + 3a²b -6ab² = 5b(a – 2b) + 3ab(a – 2b) =(a – 2b)(5b +3ab)
