Scomposizione mediante i prodotti notevoli

I prodotti notevoli studiati sono utili per la scomposizione dei polinomi in fattori. Li dobbiamo utilizzare invertendo i due membri:

A² – B²= (A – B)(A+B);

A² + 2AB + B²= (A+B)²

A² -2AB + B²= (A-B)²

A²+B² + C² +2AB +2AC + 2BC =(A+B+C)²

A³+3A²B+3AB²+B³ =(A+B)³

A³- 3A²B + 3AB² – B³ =(A-B)³

A³ – B³ =(A-B)(A² + AB + B²)

A³ -+ B³ =(A+B)(A² – AB + B²)

Esempi:

Quadrati di binomio

  • 16a²+ b² +8ab = (+4a)² + (+b)² +2·(+4a)(+b)= (4a+b)²;
  • 16a²+ b² – 8ab = (+4a)² + (-b)² +2·(+4a)(-b) =  (4a – b)²;
  • x²+2x+1= (x+1)²;
  • 9a² + 4b² -12ab = (-3a)²+(2b)² + 2(-3a)2b= (-3a + 2b)²;
  • 1 – 4x + 4x² =(1 -2x)² =(2x -1)²;

Vedi gli esercizi

Quadrati di un trinomio

  • x ^{4} +y² + 1 + 2x²y + 2x² + 2y = (x² + y + 1)²;
  • 4a² + 25b² + 9c² + 20ab + 12ac + 30bc = (2a + 5b + 3c)²= (-2a -5b -3c)²;
  • a² + 9b² + 4c² -6ab -4ac + 12bc =(a -3b -2c)² = (3b +2c -a)²;
  • 1 + x² +4y² – 2x -4y + 4xy =(1 – x – 2y)² =(x + 2y – 1)²;
  • \frac{1}{4}a²b² + a²x ^{6} – a²bx³ + \frac{1}{3}abx – \frac{2}{3}a x^{4} + \frac{1}{9}x²=(\frac{1}{2}ab -ax³ + \frac{1}{3}x)²;

Vedi gli esercizi

Differenza di quadrati

  • a² – 9b² = a² – (3b)²=(a +3b)(a -3b);
  • 25x² – 49 = (5x)² – 7²= (5x + 7)(5x – 7);
  • (\frac{1}{4}a ^{6}- x ^{8})=( \frac{1}{2}a ^{3})²-(x ^{4})² = (\frac{1}{2}a ^{3} – x ^{4}) (\frac{1}{2}a ^{3} + x ^{4});
  • (a+b)²-c² =(a+b+c)(a+b-c);
  • (x+y)²-(x-y)²=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]=[(x+y)+(x-y) ][(x+y)-(x-y)]=[x+y+ x-y][x+y-x-y]= 2x·2y=4xy.

    

Vedi gli esercizi

Cubo di binomio

  • 8x³ + 36x² + 54x + 27 = (2x)³ + 3·(2x)² ·3 + 3·(2x)(3)² + 3³ =(2x+3)³;
  • 8a³ + 12a² + 6a + 1= (2a + 1)³;
  • 1 + 3a ^{4} – 3a² – a ^{6} = 1³ + (-a²)³ + 3·1·(-a²)² + 3·1² · (-a²)=[1 + (-a²) ]³ =(1-a²)³ =(1-a)³(1+a)³;
  • x³y³ – 6x²y² + 12xy – 8 =(xy)³ + (-2)³ + 3 · (xy)²(-2)+3·(xy)·(-2)²= (xy – 2)³;
  • \frac{1}{27}a ^{9} - b ^{6} +a ^{3}b ^{4}-\frac{1}{3}a ^{6}b ^{2}=( \frac{1}{3}a ^{3} )³ + (-b²)³ + 3·(\frac{1}{3}a ^{3} )(-b²)² + 3·(\frac{1}{3}a ^{3} )²·(-b²)=[(\frac{1}{3}a ^{3} )+(-b²)]³=         =(\frac{1}{3}a ^{3} -b²)³;
  • -8x³ – a³ – 12ax² – 6a²x =(-2x – a)³;
  • (a – 1)³ + x³ + 3x(a-1)²+3x²(a-1) = [(a -1)+x]³= (a-1 +x)³
  • -(a-1)³+x³ +3x(a-1)²-3x²(a-1)= [-(a-1)]³+x³ +3·x · [-(a – 1)]² + 3 · x²·[-(a – 1)]= [-(a – 1)+x]³=           =(x-a+1)³

Vedi gli esercizi

Somma o differenza di due cubi

Ricordando che:

A³ – B³ =(A-B)(A² + AB + B²)

A³ + B³ =(A+B)(A² – AB + B²)

  • a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²);
  • a³-b³=(a+b)(a²+ab+b²);
  • 8a³ + 27b³ =(2a + 3b)(4a² -6ab +9b²);
  • \frac{1}{27}x³ –\frac{1}{8}y ^{6}= (\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y ^{2})(\frac{1}{9}x ^{2}+ \frac{1}{6}xy ^{2}+\frac{1}{4}y ^{4});
  • + 64x ^{9}= (1 +4x³)(1 – 4x³ + 16x ^{6});
  • (a-b)³ + 1 = (a-b+1)[(a-b)² – (a-b) +1]

Vedi gli esercizi

Particolari trinomi di secondo grado

Consideriamo il trinomio di secondo grado x²+8x + 15

Esso ha il coefficiente di x² uguale a 1; inoltre i numeri 8 e 5 sono, rispettivamente, la somma e il prodotto di 3 e 5.

8= 3 + 5       e       15= 3·5.

Quindi se proviamo a moltiplicare i due binomi formati dal 3 e il 5 cioè (x+3)(x+5), otteniamo proprio il trinomio x²+8x + 15.

Quindi:

x² +(a+b)x + ab = (x+a)(x+b)

Esempi

  • x²+5x+6= x²+3x +2x +6 =(x+3)(x+2) ma si può arrivare a questo risultato cercando quei due numeri che sommati daranno +5 e moltiplicati +6; quei numeri sono proprio 3 e 2;
  • x² – 4x – 12 = (x-6)(x+2) i due numeri che sommati fanno -4 e moltiplicati -12 sono -6 e + 2;
  • x² – 9x + 14 = (x-7)(x-2) i due numeri che sommati fanno -9 e moltiplicati +14 sono -7 e -2;
  • x² + 2x – 3 = (x+3)(x-1) i due numeri che sommati fanno +2 e moltiplicati -3 sono +3 e -1.

Vedi gli esercizi

 

Programma matematica primo superiore