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Esercizi sugli insiemi complementari

Esercizi sugli insiemi complementari

Esercizio n° 1

Dati due insiemi A = {a / a è un mese dell’anno} e B = {b / b è un mese di 31 giorni} rappresentare per elencazione e graficamente il complementare di B rispetto ad A.

C_{{A}} B = {febbraio, aprile, giugno, settembre, novembre}

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Esercizio n° 2

Dati due insiemo A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3}, rappresentare per elencazione e graficamente l’insieme complementare dell’insieme B rispetto all’insieme A.

C_{{A}} B = {2, 4, 5}

274

Esercizio n° 3

Dati gli insiemi A e B, determina l’insieme complementare di B rispetto ad A.

A = {x \x  numero naturale minore  di 8}              B = {x \ x numero naturale divisore di 6 }

La rappresentazione per elencazione  dei due insiemi è:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}    e       B = {1, 2, 3, 6 }

L’insieme B ⊂ A e quindi esiste il complementare di B formato dagli elementi di A che non appartengono a B:

C_{{A}} B = {0, 4, 5, 7 }

Esercizi sugli insiemi differenza

Esercizi sugli insiemi differenza

Esercizio n° 1

Dati due unsiemi A= {Alberto, Paolo, Matteo, Giorgio, Carlo} e B = {Luca, Paolo, Giorgio, Carlo}, rappresentare l’insieme differenza per elencazione e graficamente.

A – B = {Alberto, Matteo} che chiameremo insieme C.

271

Esercizio n° 2

Dati i due insiemi A = {l, p, t, u} e B = {h, m, r, p, u, v} rappresentare l’insieme differenza per elencazione e graficamente.

A – B = {l, t} che chiameremo insieme

B – A = {h, m. r. v} che chiameremo insieme D

272

Esercizio n° 3

Rappresenta per elencazione gli insiemi A – B e B – A  in ciascun caso.

insieme differenza

Esercizi sull’unione degli insiemi

Esercizio n° 1

Dati gli insiemi A = {a / a è una lettera della parola caso} e B = {b / b è una lettera della parola sole}, rappresentare per elencazione e graficamente l’insieme unione.

A ∪ B = {c, a, s, o, l, e}  è uguale all’insieme C.

268

Esercizio n° 2

Dati gli insiemi A ={3, 5, 7, 9, 11} e B = {5, 7, 9}, rappresentare per elencazione e graficamente l’insieme unione.

A ∪ B = A poichè B è un sottoinsieme di A.

269

Esercizio n° 3

Dati gli insiemi A = {1, 2, 3}; B = {1, 2, 5, 8}; C = {2, 5, 7}, rappresentare per elencazione e graficamente l’insieme unione.

Per calcolare A ∪ B ∪ C  dobbiamo calcolare prima A ∪ B:

A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 8}  poi calcoliamo:

(A ∪ B) ∪ C =  {1, 2, 3, 5, 7, 8}.

270

 

Esercizi sull’intersezione di insiemi

Esercizio n° 1

Dati gli insiemi A = {a / a  è una lettera della parola casale} e B ={b / b è una lettera della parola sole} , rappresentare per elencazione e graficamente l’insieme intersezione.

A ∩ B ={s, l, e}

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Eercizio n° 2

Dati gli insiemi A = {C arlo, Rita, Paolo, Elena} e B = {Andrea, Franca, Veronica, Elisabetta}, rappresentare per elencazione e graficamente l’insieme intersezione.

Poichè A e B non hanno alcun elemento in comune sono disgiunti, sarà A ∩ B = ∅.

Esercizio n° 3

Dati gli insiemi A = {a / a è una cifra del numero 135679} e B = {b / b è una cifra del numero 6793}, rappresentare per elencazione e graficamente l’insieme intersezione.

Poichè B ⊂ A, sarà: A ∩ B = B

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Esercizio n° 4

Dati gli insiemi A = {a, b, e, d, r} ; B = {a, b, e, c, d, s} ; C = {a, b, e, s, r, l}, rappresentare per elencazione e graficamente l’insieme intersezione.

Per determinare A ∩ B ∩ C  dobbiamo calcolare prima A ∩ B:

A ∩ B = {a, b, e, d} che chiameremo insieme D;

D ∩ C = {a, b, e}

quindi: A ∩ B ∩ C = {a, b, e}  che chiameremo insieme F

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Esercizi sui sottoinsiemi

Esercizio n° 1

Rappresenta graficamente mediante il diagramma di Eurelo-Venn l’insieme dei mammiferi e l’insieme dei felini.

264

Esercizio n° 2

Del seguente insieme A = {a, b, c, d} dare la rappresentazione tabulare di tutti i possibili sottoinsiemi.

B = {a, b, c, } ; C = {a, c, d} ; D ={a, b, d} ;E = {b, c, d} ; F = {a, b} ; G = {a, c}; H = {a, d}; I = {b, c} ;  L = {c, d}; M = {b, d}; N = {a, b, c, d} ; O = {Ø}

 

Esercizi sulla rappresentazione degli insiemi

Esercizio n°1

Rappresentare l’insieme A formato dai numeri naturali maggiori di 5 e minori di 10.

Per elencazione:  A= { 6; 7; 8; 9 }

Per caratteristica:  A={a/a è un numero naturale maggiore di 5 e minore di 10}

Graficamente:

261

Esercizio n°2

Rappresentare l’insieme A formato dalle lettere della parola “materia”.

Per elencazione: A = { m; a; t; e; r; i }  (ogni elemento cva scritto una sola volta)

Per caratteristica: A = {a/a è una lettera della parola “materia”}

Graficamente:

262

Esercizi  n° 3

Rappresentare l’insieme A formato dalle stagioni.

Per elencazione: A = {primavera, estate, autunno, inverno}

Per caratteristica: A = {a/a è una stagione dell’anno}

Graficamente:

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Relazione di ordine stretto

Una relazione che gode della proprietà antiriflessiva, transitiva e asimmetrica si dice relazione d’ordine stretto.

Una relazione di ordine stretto può essere rappresentata dai simboli < minore> maggiore e le proprietà di cui gode possono essere rappresentate così:

< (non è minore) a                                             antiriflessiva

se a < b < c  allora a < c                                         transitiva

se a < b  allora b <(non è minore) a                   asimmetrica

Nell’insieme N  la relazione ℜ = ” …<… ” è una relazione di ordine stretto.

Relazione di ordine largo

Una relazione che gode della proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva si dice relazione di ordine largo.

Una relazione di ordine largo può essere rappresentata da simboli : ≤ (minore o uguale) e ≥ (maggiore o uguale) e le proprietà possono essere rappresentate così:

a ≤ a                                            riflessiva

se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c     transitiva

se a ≤ b e b ≤ a  allora a=b     antisimmetrica

Per esempio in  Q^{+} la relazioni ℜ “… ≥ …” è una relazione di ordine largo. Infatti è riflessiva, transitiva, antisimmetrica.

Relazione di equivalenza e partizione

Una relazione che gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione di equivalenza.

Consideriamo l’insieme A:

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insieme

e consideriamo la relazione:

ℜ = “… ha la stessa forma… ”

La relazione ℜ è una relazione di equivalenza in quanto sono verificate le proprietà:

  • riflessiva: ogni figura è in relazione con se stessa;
  • simmetrica: se una figura ha la stessa forma di un’altra, quest’ultima ha la stessa forma della prima;
  • transitiva: se una figura ha la forma di un’altra, e questa la stessa forma di una terza, la prima e la terza figura hanno la stessa forma.
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rappresentazione Eurelo Venn

Questi sottoinsiemi sono detti classi di equivalenza perchè gli elementi della classe sono equivalenti fra loro relativamente alla forma: se si vuole una figura quadrata si può scegliere indifferentemente.

 

Proprietà transitiva degli insiemi

Una relazione ℜ definita in un insieme si dice transitiva quando, considerati tre elementi a, b, c appartenenti all’insieme, se a ℜ b e b ℜ c allora anche a ℜ c.

Consideriamo l’insieme A:

A= {carota, carciofo, cipolla, fagiolo, patata, pomodoro}

e la relazione:

ℜ =” … inizia con la stessa lettera di…”

possiamo notare che:

cipolla ℜ carota, carota ℜ carciofo, cipolla ℜ carciofo

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Se un elemento è in relazione con un altro e questo è in relazione con un terzo, allora anche il primo e il terzo elemento sono in relazione tra loro.