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Esercizi sul calcolo della probabilità

Esercizi sul calcolo della probabilità

Esercizio n° 1

Calcola la probabilità di ciascun evento.

Data un’urna contenente 10 palline uguali, numerate da 1 a 100, calcola la probabilità:

a) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 6.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 7, 8, 9, 10, quindi sono 4.

I casi possibili sono 10, quindi:

P(E) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}     sotto forma di numero decimale si ottiene:

P(E) = 2: 5 = 0,4   e sotto forma di percentuale:

P(E) = 0,4 · 100 = 40%

b) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 10.

Non ci sono casi favorevoli:

P(E) = 0    l’evento è impossibile

c) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero minore di 11.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, quindi sono 10, come i casi possibili.

P(E) = \frac{10}{10} = 1                      è un evento certo

d) di estrarre un multiplo di 3.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 3, 6, 9, quindi sono 3.

P(E) = \frac{3}{10} = 0,3 = 30%

Esercizio n° 2

Nel gioco della tombola sono già usciti i numeri 12 e 21, calcola la probabilità che nella terza estrazione si verifichi uno dei seguenti eventi.

a) Esca il numero 40.

I casi favorevoli sono 1, i casi possibili sono (90 – 2) = 88 perchè a 90 abbiamo tolti i numeri che già sono usciti, quindi la probabilità è:

P(E) = \frac{1}{88}

b) Esca un numero minore di 30.

Poichè i due numeri già estratti sono entrambi minori di 30, i casi favorevoli sono:

(29-2) = 27, quindi:

P(E)= \frac{27}{88}

Esercizio n° 3

Lanciando in aria 2 monete qual è la probabilità di ottenere una testa e una croce?

I 4 casi possibili sono: Testa-Testa; Testa- Croce; Croce- Testa; Croce – Croce

I casi favorevoli ovviamente sono 2 e cioè Testa – Croce e Croce- Testa. Quindi la probabilità sarà pari a \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Esercizio n° 4

Una scatola contiene 12 cioccolatini: 4 sono fondenti e 8 al latte. Tre cioccolatini vengono estratti a caso dalla scatola uno dopo l’altro. Qual è la probabilità P che i tre cioccolatini estratti siano al latte?

La probabilità che il primo cioccolatino sia al latte è pari a \frac{8}{12}= \frac{2}{3}. Dopo la prima estrazione, nella scatola sono rimasti 11 cioccolatini di cui 7 al latte e quindi la probabilità che la seconda estrazione dia come risultato un cioccolatino al latte (supposto al latte il primo estratto) è pari a \frac{7}{11}. Allo stesso modo, dopo la seconda estrazione sono rimasti 10 cioccolatini di cui 6 al latte; pertanto la probabilità che il terzo cioccolatino estratto sia al latte è pari a \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.

Per il teorema delle probabilità composte, la probabilità che eventi indipendenti si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi; le tre estrazioni costituiscono eventi indipendenti, che devono avvenire contemporaneamente e quindi la probabilità richiesta è pari a:

P = \frac{2}{3} · \frac{7}{11} . \frac{3}{5} = \frac{14}{55}

Esercizio n° 5

Un’urna contiene 10 palline: 6 rosse e 4 bianche. Qual è la probabilità che estraendo due palline dall’urna queste siano rosse?

La probabilità che la prima pallina esca rossa è pari a \frac{6}{10}. Dopo l’estrazione, le palline sono diventate 9 e la prbabilità che anche la seconda sia rossa è \frac{5}{9}. Quindi la probabilità totale è \frac{6}{10} · \frac{5}{9} = \frac{1}{3}.

Esercizio n° 6

Qual è la probabilità che, lanciando due dadi da gioco tradizionali, la somma delle facce sia uguale a 3?

La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento e il numero di casi possibili. Si tratta quindi di valutare quanti sono i casi favorevoli, sapendo che i casi possibili sono 36 = 6 · 6. I casi possibili sono due e cioè : 1 + 2 e 2 + 1.

La probabilità dell’evento è P = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

Esercizio n° 7

Considera il lancio di un dado e riconosci quali coppie di eventi sono incompatibili e quali compatibili.

a) E_{{1}}: Uscita di un numero pari

E_{{2}}: Uscita di un multiplo di 5

Poichè l’unico multiplo di 5 che si può ottenere è 5 stesso, che non è un numero pari, il verificarsi di un evento esclude l’altro, quindi i due eventi sono incompatibili.

b) E_{{1}}: Uscita di un multiplo di 2

E_{{2}}: Uscita di un multiplo di 3

I multipli di 2 che si possono ottenere sono: 2, 4, 6.

I multipli di 3 che si possono ottenere sono : 3 e 6.

Poichè l’uscita del numero 6 è comune ai due eventi, il verificarsi di E_{{1}}  non esclude il verificarsi di E_{{2}}, quindi i due eventi sono compatibili.

Esercizio n°8

Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi incompatibili.

Calcola la probabilità dell’evento E: uscita del numero 5 o di un numero pari nel lancio di un dado.

Svolgimento

Gli eventi parziali sono:

E_{{1}}: uscita del un numero 5

P(E_{{1}})= \frac{1}{6}

E_{{2}}: uscitas di un numero pari

P(E_{{2}}) = \frac{3}{6}

I due eventi sono incompatibili, quindi:

P(E)= \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Esercizio n° 9

Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi compatibili.

Calcola la probabilità dell’evento E: estrarre una rosa o un fiore rosso da un mazzo di fiori formato da 5 rose rosse, 6 rose gialle, 4 garofani rossi e 4 garofani bianchi.

Svolgimento

Gli eventi parziali sono:

E_{{1}}: estrazione di una rosa

E_{{2}}: estrazione di un fiore rosso

I due eventi sono compatibili: è possibile estrarre una rosa rossa.

Le rose sono (5 + 6) = 11

I fiori rossi sono (5 + 4) = 9

I fiori sono in tutto (5+ 6+ 4+ 4) = 19

P(E_{{1}})= \frac{11}{19}                       P(E_{{2}}) = \frac{9}{19}

Indicato con  l’evento: estrazione di una rosa rossa, si ottiene:

P(E_{{3}}) = \frac{5}{19}     per cui:

P(E) = \frac{11}{19} + \frac{9}{19} – \frac{5}{19} = \frac{15}{19}   Dobbiamo togliere \frac{5}{19} perchè la probabilità di estrarre una rosa rossa già è presente nella probabilità di estrarre un fiore rosso.

 

 

Esercizi sugli eventi casuali e sulla probabilità

Esercizi sugli eventi casuali e sulla probabilità

Esercizio n° 1

Per ciascuno degli avvenimenti descritti, riconosci se è casuale-

a) Domani, durante le estrazioni del lotto, il mio numero uscirà sulla ruota di Cagliari.

L’estrazione di un numero del lotto è un avvenimento casuale.

b) Domani sulla Pianura Padana nevicherà.

Il fatto che nevichi dipende  da molti fattori per nulla casuali; quindi l’avvenimento non è casuale.

c) Fra tre giorni, se prendo un bel voto in Matematica, andrò in montagna a sciare.

L’ avvenimento non dipende dal caso, quindi non è casuale.

Esercizio n° 2

Stabilisci quali eventi sono certi, quali impossibili e quali incerti.

a) Uscita di un numero maggiore di 6 nel lancio di un dado.

Essendo 6 il numero più grande che si può ottenere, l’evento considerato è impossibile.

b) Estrazione di una pallina rossa da un’urna contenente palline bianche e palline rosse.

Estraendo una pallina, questa può essere sia rossa sia bianca, quindi si tratta di un evento incerto.

c) Vincita di un premio in un banco di beneficenza in cui a ogni biglietto è abbinato un premio.

Poichè a ogni biglietto è abbinato un premio, si ha la certezza di vincere un premio. L’evento considerato è certo.

 

 

Esercizi sulla frequenza, moda, media e mediana

Esercizio n°1

Dopo aver svolto un ‘indagine riguardante la colazione degli allievi di una scuola media, il medico scolastico ha ottenuto i seguenti risultati: 120 allievi mangiano latte e biscotti, 25 solo un pezzo di focaccia , 20 mangiano una fetta di torta con succo di frutta, altri 15 bevono solo succo di frutta, 10 mangiano frutta e 10 non mangiano niente.

Dopo aver compilato una tabella di frequenza, determina, per ogni tipo di colazione, la frequenza relativa e individua la moda.

Organizziamo i dati in una tabella riportando oltre alla colonna delle frequenze assolute, quella delle frequenze relative ottenute dividendo la frequenza assoluta di un dato per il totale.

Frequenza assoluta Frequenza relativa
Latte e biscotti 120 0,6
Focaccia 25 0,125
Torta e succo di frutta 20 0,1
Succo di frutta 15 0,075
Frutta 10 0,05
Non fa colazione 10 0,05
TOTALE 200

La moda è il valore tra una serie di dati che si presenta con una frequanza maggiore cioè 10

Esercizio n° 2

Per ciascuna successione di dati quantitativi, determina la moda, il campo di variazione e la mediana.

a) 12; 14; 14; 14;  15; 15; 18; 20; 20

I valori sono posti in ordine crescente.

Il valore che compare più volte è il 14, quindi: moda = 14

Il valore minore è 12 e il maggiore è 20, quindi: campo di variazione = 20 – 12 = 8

Ci sono nove valori, quindi quello che occupa la posizione centrale è il quinto a cui corrisponde il valore 15:

mediana = 15

b) 15; 10; 20; 18; 18; 15; 16 ; 22

Disponendo i valori in ordine crescente, la successione diventa: 10; 15; 15; 16; 18; 18; 20; 22

Il 15 e il 18 compaiono entrambi due volte, quindi la distribuzione è bimodale con moda = 15 e 18

Il campo di variazione è = 22-10 = 12

Essendo la successione formata da otto termini, ci sono due valori centrali: il quarto, che è 16 e il quinto che è 18, quindi:  mediana = \frac{16+18}{2} = 17

Esercizio n° 3

Per ciascuna successione di dati quantitativi, calcola la media aritmetica.

a) 5; 8; 10; 15; 16

Per calcolare la media aritmetica, si sommano tutti i dati e si divide tale somma per il numero di dati (unità statistiche), in questo caso 5.

media

b) 

dato frequenza
5 2
7 4
8 6
10 3
15 1

La successione di dati quantitativi è assegnata mediante una tabella di frequenza.

Le unità statistiche sono (2, 4, 6, 3, 1) = 16

E’ possibile calcolare la media ponderata, cioè sostituire alle somme di dati uguali , il prodotto del dato per la sua frequenza :

media

 

 

Gli istogrammi

Gli istogrammi possono essere considerati un’estensione degli ortogrammi.

Gli ortogrammi sono costituiti da rettangoli aventi larghezza arbitraria, ma costante e altezza proporzionale alla caratteristica che si vuole rappresentare; si utilizzano per riprodurre frequenze assolute di dati qualitativi (sport preferito, nazione di provenienza, anno di nascita, …).

ORTOGRAMMA

istogramma

istogramma

Nel caso sia eseguita una classificazione sulla base di dati quantitativi, cioè di grandezze misurate, le basi dei rettangoli non possono essere disposte a caso.

Questo succede quando si vuole catalogare un gruppo di persone in base all’altezza, al peso, all’età ecc. e quindi è bene usare un istogramma che è basato sulle aree delle colonne anzichè sulla loro altezza.

Per costruire l’istogramma di un fenomeno riportiamo sull’asse delle ascisse gli intervalli rappresentati dalle lunghezze dei segmenti adiacenti.

Presi questi segmenti come basi, si costruisce su di essi altrettanti rettangoli, sapendo che le aree devono essere proporzionali alle frequenze delle caratteristiche contenute nei corrispondenti intervalli.

Ci sono istogrammi a intervalli costanti e istogrammi a intervalli variabili.

 

Le frequenze

In statistica si definiscono 2 tipi di frequenze:

  • Frequenza assoluta: è il numero di volte che si verifica un evento a prescindere dal numero totale delle prove.
  • Frequenza relativa: è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero di prove eseguite; viene misurata con un numero decimale compreso tra 0 e 1, o in percentuale.
Se chiamiamo quindi frequenza relativa f tale rapporto,ponendo

f = numero esiti favorevoli /numero prove eseguite

La  legge dei grandi numeri, ci permette di confondere la frequenza f con la probabilità dell’evento, purchè il numero di prove sia molto grande.
A volte può essere utile sapere quante sono le prove eseguite che non superino un determinato valore. Tale valore è detto frequenza cumulata.
La frequenza cumulata relativa alla caratteristica x  si ottiene addizionando le frequenze assolute delle caratteristiche minori o uguali a x.
Quindi la frequenza cumulata si ottiene dalle frequenze assoluta. Per esempio in un museo le persone che visitano una mostra ci danno il valore della frequenza assoluta, da quella si calcola la frequenza cumulata. Infatti:
giorno frequenza assoluta frequenza cumulata
lunedì 10 10
martedì 18 28
mercoledì 12 40
giovedì 15 55
venerdì 14 69
sabato 20 89
La frequenza cumulata è data da: 10+18 = 28    28+12 = 40    40 + 15 = 55     55 + 14 = 69    69 + 20 = 89
Esercizio n° 1
Ricava le frequenze relative e le frequenze percentuali, dalla seguente tabella delle frequenze assolute.
dato statistico A B C D
frequenza assoluta 12 8 20 10

Svolgimento

Il numero delle unità statistiche è (12 + 8 + 20 + 10) = 50

La frequenza relativa del dato A è f_{{a}}= \frac{12}{50} = 0,24 e la sua frequenza percentuale è (0,24 · 100) = 24%.

Operando analogamente si può ricavare la seguente tabella.

dato statistico frequenza assoluta frequenza relativa frequenza percentuale
A 12 0,24 24%
B 8 0,16 16%
C 20 0,4 40%
D 10 0,2 20%
totale 50 1 100%

Esercizio n° 2

Con nriferimento alle frequenze cumulate, relative ai voti riportati in un compito di matematica dai 25 alunni di una classe, ricava la tabella delle frequenze assolute.

La frequenza assoluta di un voto è uguale alla differenza tra la frequenza cumulata di quel voto e la frequenza cumulata del voto precedente.

Voto frequenza cumulata frequenza assoluta
3 1 1
4 3 3-1 = 2
5 6 6-3 = 3
6 13 13 – 6 =7
7 18 18 – 13= 5
8 22 22 – 18 = 4
9 25 25 – 22 = 3

 

Probabilità statistica

La probabilita‘ statistica di un evento casuale (aleatorio) è un numero che esprime la frequenza relativa dell’evento in un gran numero di prove precedenti tutte fatte nelle stesse condizioni.

Il fatto che la frequenza, all’aumentare del numero delle prove fatte, tenda al valore della probabilità classica ci fa pensare che in fenomeni in cui la probabilita classica non è applicabile sia possibile considerare la frequenza di eventi già accaduti e considerarla come probabilità di eventi futuri.
Cioe’ in eventi in cui non si può applicare la probabilità classica, ma si possano fare numerose prove possiamo considerare la frequenza degli eventi già accaduti come probabilità per gli eventi dello stesso tipo che potranno accadere.
In tale caso parleremo di probabilità statistica.

Infatti per la lagge dei grandi numeri all’aumentare del numero delle prove fatte il valore della frequenza tende al valore della probabilità.

Esercizio

Calcola la frequenza relativa e la probabilità matematica.

Tabella del numero di volte in cui si è presentata la faccia testa nel lancio di una moneta:

n° lanci n° uscite testa
30 10
50 29
100 42
200 110

La frequenza relativa dell’evento uscita della faccia testa è:

a Dopo 30 lanci, uguale a \frac{10}{30}= \frac{1}{3}= 0,3

b Dopo 50 lanci, uguale a \frac{29}{50}=0,58

c Dopo 100 lanci, uguale a \frac{42}{100}=0,42

d Dopo 200 lanci, uguale a \frac{110}{220}=0,55

La probabilità matematica è sempre uguale a \frac{1}{2}=0,5

Probabilità soggettiva

La probabilità soggettiva di un evento è \frac{p}{100}  se p è la somma che si ritiene giusto investire per ottenere 100 nel caso in cui l’evento accada.

Ci sono casi in cui:

  • non possiamo calcolare la probabilità matematica perchè tutti i casi possibili non sono ugualmente probabili;
  • non possiamo calcolare la probabilità statistica perchè l’esperimento non può essere ripetuto un numero elevato di volte.

Se vogliamo, per esempio, calcolare la probabilità che ha uno sciatore di vincere una gara non possiamo certo far ripetere la gara più volte per calcolare la probabilità statistica.

In questo come in tantissimi altri casi la probabilità di vittoria  coincide con il grado di fiducia che una persona nutre circa il verificarsi di un evento.

Tale probabilità è detta soggettiva e varia come le altre tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo).

Esercizio

Risolvi il seguente problema sulla probabilità soggettiva.

Carlo stima che la sua squadra di pallavolo abbia la probabilità di vittoria uguale a \frac{1}{4} ed è pronto a scommettere 5 figurine sulla vittoria della sua squadra. Se Luca accetta la scommessa, cosa accadrà in ciascuno dei seguenti casi.

a Vince la squadra di Carlo

Se Carlo ha stimato \frac{1}{4} la probabilità di vittoria, è disposto a pagare 1 figurina per incassarne 4 in caso di vittoria, quindi se ha scommesso 5 figurine, per determinbare il numero di figurine che incasseràò si può risolvere la proporzione:

1 : 4 = 5 : x    da cui   x = \frac{5 \cdot4}{1}= 20 figurine

Il suo guadagno sarà di (20 – 5) = 15 figurine

b vince la squadra avversaria.

Carlo perde 5 figurine che andranno a Luca.

Problemi con il grafo ad albero

PROBLEMI E APPLICAZIONI

PROBLEMA 1

In una famiglia con tre figli, qual è la probabilità che siano tutti e tre femmine?

Schematizziamo il tutto in un grafo ad albero:

GRAFO AD ALBERO 1

I casi ugualmente possibili 2·2·2=8

Si considera dal grafo il (\frac{casi,favorevoli}{casi,ugualmente,possibili})= \frac{1}{8}

PROBLEMA 2

Se  volessimo fare 13 sicuri quante colonne dovremmo giocare?

Supponiamo che ci siano solo 4 squadre e quindi che si giochino due partite e i risultati possibili sono 1,x,2:

grafo ad albero 2

Per due partite otteniamo ben 3•3= 9 casi possibili. Se le squadre fossero 6 otterremo 3•3•3= 27 casi possibili. Quindi avremo che per 8 squadre quindi 4 partite i casi possibili saranno  3^{4}=81

Il grafo ad albero

Consideriamo il lancio di due monete che da una faccia hanno testa e dall’altra croce e rappresentiamo il così detto GRAFO AD ALBERO

Casi possibili (TT),(TC),(CT),(CC).

CALCOLARE LA PROBABILITA’ DI  EVENTI

La probabilità di “avere due teste” è la probabilità di avere l’evento A={T,T} quindi p(A)=\frac{1}{4}.

Osserviamo anche che 1 è il numero degli elementi di A e 4 è il numero di elementi dello spazio campionario.

Allo stesso tempo la probabilità di “avere due croci “,cioè dell’evento B={C,C} corrisponde nel grafo ad albero ad un unico esito favorevole(indicato dal pallino giallo)  p(B)=\frac{1}{4}.

La probabilità di “ottenere facce diverse” è la probabilità dell’evento D= {(T,C);(C,T)}. Ci sono quindi due elementi nel grafo ad albero favorevoli a questo esito. Quindi p(D)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

Osserviamo che due sono gli elementi di A e 4 è il numero degli elementi dello spazio campionario.

Descriviamo infine l’evento E=” ottenere due facce uguali tra loro” e calcoliamo la sua probabilità.

I casi favorevoli nel grafo corrispondono ai pallini verdi e sono due:

E={(T,T),(C,C)}   P(E)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.

PROBLEMI E APPLICAZIONI

PROBLEMA 1

In una famiglia con tre figli, qual è la probabilità che siano tutti e tre femmine?

Schematizziamo il tutto in un grafo ad albero:

GRAFO AD ALBERO 1

 

I casi ugualmente possibili 2·2·2=8

Si considera dal grafo il (\frac{casi,favorevoli}{casi,ugualmente,possibili})= \frac{1}{8}

PROBLEMA 2

Se  volessimo fare 13 sicuri quante colonne dovremmo giocare?

Supponiamo che ci siano solo 4 squadre e quindi che si giochino due partite e i risultati possibili sono 1,x,2:

grafo ad albero 2

Per due partite otteniamo ben 3•3= 9 casi possibili. Se le squadre fossero 6 otterremo 3•3•3= 27 casi possibili. Quindi avremo che per 8 squadre quindi 4 partite i casi possibili saranno  3^{4}=81

Frequenza di un evento

La frequenza relativa di un evento A è il numero f_{{r}}(A)\frac{a}{n} dove a è il numero di casi in cui si è verificato l’evento ed n il numero di volte che si è ripetuto l’esperimento.

La probabilità che un evento si verifichi è pari alla frequenza relativa dell’evento, quando il numero di ripetizioni sia abbastanza grande.

Supponiamo di lanciare una moneta 10 volte di seguito. La probabilità che in ciascuna prova si presenti testa è sempre \frac{1}{2} perchè, in tutte le prove, 1 è il caso favorevole che l’evento si verifichi e 2 sono i casi possibili. Analogamente lanciando un dado, 20 volte di seguito, la probabilità che in ciascuna prova la faccia superiore presenti un numero non superiore a 5 è \frac{5}{6} perchè i casi favorevoli sono 5 ed i casi possibili sono 6.

Supponiamo che nelle 10 volte in cui si effettua il lancio di una moneta, questa si è presentata testa appena 4 volte. In tal caso il rapporto \frac{4}{10} , fra il numero 4 che sono le volte in cui si è verificato l’evento testa e il numero 10 delle prove fatte si chiama frequenza relativa all’evento.

Naturalmente se in nessuno dei 10 lanci della moneta l’evento di presentarsi testa non si è mai verificato, la frequenza sarà 0; mentre se nei 10 lanci l’evento si è sempre verificato la frequenza è 1.

Si è verificato che aumentando il numero di prove la frequenza e la probabilità tendono a diventare uguali, anche chiamata LEGGE DEI GRANDI NUMERI