Potenza di frazioni algebriche

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La potenza di una frazione algebrica è la potenza che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore.

(\frac{A}{B}) ^{n}=\frac{A ^{n}}{B ^{n}}

Bisogna anche ricordare le potenze negative dove (x) ^{-n}= \frac{1}{x ^{n}}

Esempi

potenze-di-frazioni-algebriche
potenze di frazioni algebriche

Esempio con esponente negativo:

\frac{5xy}{a ^{2}} ^{-2}= \frac{1}{\frac{5xy}{a ^{2}} ^{2}} = (\frac{a ^{2}}{5xy}) ^{2}}= \frac{a ^{4}}{25x ^{2}y^{2}}

Per svolgere tali frazioni basta conoscere le regole delle potenze per i monomi.

Programma matematica primo superiore

Esercizio n° 1

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{-3ab ^{5}}{2a^{2}c^{3}}) ^{2}

Esercizio n° 2

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{2}-b ^{2}}{a^{2}+2ab+b ^{2}}) ^{3}

Esercizio n° 3

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{x^{3}+x ^{2}y}{x^{2}+2xy+y ^{2}}) ^{3}

Esercizio n° 4

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{2}+1}{a^{2}-3a-4} - \frac{a+1}{a-4})^{2}

Esercizio n° 5

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(1 - \frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2x+1} )^{2}

Esercizio n° 6

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{6a}{a^{2}-9} + \frac{a}{a+3} + \frac{3}{3-a})^{3}: (\frac{b}{b-2} + \frac{8}{4-b^{2}} - \frac{2}{b+2})^{4}

Esercizio n° 7

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(-\frac{a^{2}b ^{3}}{1-2a +a^{2}}) ^{-3}

Esercizio n° 8

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}) ^{3} · (\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}) ^{-4}

Esercizio n° 9

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{3}}{a^{2}-2a + 4}) ^{2} · (a ^{2}+2a) ^{-3} · (\frac{a^{3}+8}{a}) ^{2}

Esercizio n° 10

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

\frac{x^{3}-4x}{x^{2}+4x + 4  · (\frac{x^{2}-4x + 4}{2x^{2}-8}) ^{-1} · (2x) ^{-2}

 
 

Svolgimento

Esercizio n° 1

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{-3ab ^{5}}{2a^{2}c^{3}}) ^{2}=

L’esponente è pari quindi il risultato è positivo. Si eleva al quadrato numeratore e denominatore, dopo aver semplificato la frazione algebrica.

=\frac{(-3b ^{5})^{2}}{(2ac^{3})^{2}}  = \frac{9b ^{10}}{4a^{2}c^{6}}            C.E.  a≠0,  c≠0

Esercizio n° 2

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{2}-b ^{2}}{a^{2}+2ab+b ^{2}}) ^{3}

L’esponente è dispari, quindi resta il segno della base. Prima di eseguire la potenza si deve semplificare la frazione.

= (\frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^{2}}) ^{3} = semplifichiamo e otteniamo:

= \frac{(a-b)^{3}}{(a+b)^{3}}        C.E.       a≠-b

Esercizio n° 3

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{x^{3}+x ^{2}y}{x^{2}+2xy+y ^{2}}) ^{3}=

L’esponente è dispari, quindi resta il segno della base. Prima di eseguire la potenza si deve semplificare la frazione.

(\frac{x^{2}(x+y)}{(x+y)^{2}} ) ^{3}=semplifichiamo x+y e otteniamo:

=(\frac{x^{2}}{(x+y)} ) ^{3}=(\frac{x^{2}}{x+y} ) ^{3}=    C.E.     x≠-y

= \frac{x^{6}}{(x+y)^{3}}

Esercizio n° 4

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{2}+1}{a^{2}-3a-4} - \frac{a+1}{a-4})^{2}=

L’esponente è pari quindi il risultato è positivo. Si eleva al quadrato numeratore e denominatore, dopo aver semplificato la frazione algebrica.

= (\frac{a^{2}+1}{(a-4)(a+1)} - \frac{a+1}{a-4})^{2} =    C.E. a≠4;        a≠-1

= (\frac{a^{2}+1- (a+1)(a+1)}{(a-4)(a+1)} )^{2} =

= (\frac{a^{2}+1- (a+1)^{2}}{(a-4)(a+1)} )^{2}=

=(\frac{a^{2}+1- (a^{2}+2a+1)}{(a-4)(a+1)} )^{2} = (\frac{a^{2}+1- a^{2}-2a-1)}{(a-4)(a+1)} )^{2}

=(-\frac{2a}{(a-4)(a+1)} )^{2} = \frac{4a^{2}}{(a-4)^{2}(a+1)^{2}}

Esercizio n° 5

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(1 - \frac{x^{2}-2x}{x^{2}-2x+1} )^{2}=

L’esponente è pari quindi il risultato è positivo. Si eleva al quadrato numeratore e denominatore, dopo aver semplificato la frazione algebrica.

= (1 - \frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}} )^{2}= ( \frac{(x-1)^{2}-(x^{2}-2x)}{(x-1)^{2}} )^{2}=

= ( \frac{x^{2}-2x + 1-x^{2}+2x}{(x-1)^{2}} )^{2}= ( \frac{1}{(x-1)^{2}} )^{2}=  \frac{1}{(x-1)^{4}} =

Esercizio n° 6

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{6a}{a^{2}-9} + \frac{a}{a+3} + \frac{3}{3-a})^{3}: (\frac{b}{b-2} + \frac{8}{4-b^{2}} - \frac{2}{b+2})^{4}

=(\frac{6a}{(a-3)(a+3)} + \frac{a}{a+3} - \frac{3}{a-3})^{2} : (\frac{b}{b-2} + \frac{8}{(2-b)(2+b)} - \frac{2}{b+2})^{4}=

=(\frac{6a}{(a-3)(a+3)} +\frac{a}{a+3} - \frac{3}{a-3})^{2} : (\frac{b}{b-2} - \frac{8}{(b-2)(2+b)} - \frac{2}{b+2})^{4}=

=(\frac{6a+a(a-3)- 3(a+3)}{(a-3)(a+3)} )^{2}  : ( \frac{b(b+2)-8-2(b-2)}{(b-2)(2+b)})^{4}= C.E.    a≠±3;   a≠±2

= (\frac{6a+a^{2}-3a- 3a-9}{(a-3)(a+3)} )^{2} : ( \frac{b^{2}+2b-8-2b+4}{(b-2)(2+b)})^{4}=

== (\frac{a^{2}-9}{(a-3)(a+3)} )^{2}  : ( \frac{b^{2}-4}{(b-2)(2+b)})^{4}=

= = (\frac{(a-3)(a+3)}{(a-3)(a+3)} )^{2}  : ( \frac{(b-2)(b+2)}{(b-2)(2+b)})^{4}=

= 1: 1 = 1

Esercizio n° 7

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(-\frac{a^{2}b ^{3}}{1-2a +a^{2}}) ^{-3}=

In questo caso l’indice e negativo e quindi poichè (x) ^{-n}= \frac{1}{x ^{n}} avremo:

\frac{1}{(-\frac{a^{2}b ^{3}}{1-2a +a^{2}}) ^{-3}} =(-\frac{1-2a +a^{2}}{a^{2}b ^{3}}) ^{3}}=   C.E.    a≠0; b≠0

=(-\frac{(a-1)^{2}}{a^{2}b ^{3}}) ^{3}}= =-\frac{(a-1)^{6}}{a^{6}b ^{9}}

Esercizio n° 8

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}) ^{3} · (\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}) ^{-4}=

= (\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}) ^{3}· (\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}) ^{4}=   \frac{(x^{2}-y^{2})^{3}}{(x+y)^{3}} · \frac{(x+y)^{4}}{(x^{2}-y^{2})^{4}}

= \frac{x+y}{x^{2}-y^{2}} = \frac{x+y}{(x-y)(x+y)} =   \frac{1}{(x-y)}

Esercizio n° 9

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

(\frac{a^{3}}{a^{2}-2a + 4}) ^{2} · (a ^{2}+2a) ^{-3} · (\frac{a^{3}+8}{a}) ^{2}=

= (\frac{a^{3}}{(a-2)^{2}}) ^{2} · \frac{1}{ (a ^{2}+2a) ^{3}} · (\frac{(a+2)(a^{2}-2a+4)}{a}) ^{2}=

= \frac{a^{6}}{(a-2)^{4}}· \frac{1}{ a^{3}(a +2) ^{3}} · (\frac{(a+2)(a-2)^{2}}{a}) ^{2}=

= \frac{a^{6}}{(a-2)^{4}}· \frac{1}{ a^{3}(a +2) ^{3}} ·  \frac{(a+2)^{2}(a-2)^{4}}{a^{2}} =

= \frac{a}{a+2}

Esercizio n° 10

Semplifica la potenza della seguente frazione algebrica.

\frac{x^{3}-4x}{x^{2}+4x + 4  · (\frac{x^{2}-4x + 4}{2x^{2}-8}) ^{-1} · (2x) ^{-2}=

=\frac{x(x^{2}-4)}{(x+2)^{2} · \frac{2x^{2}-8}{x^{2}-4x + 4}   ·\frac{1}{(2x) ^{2}}=

= \frac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)^{2} · \frac{2(x^{2}-4)}{(x-2)^{2}}   · \frac{1}{4x ^{2}}=

=  \frac{x(x-2)(x+2)}{(x+2)^{2} ·  \frac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)^{2}}  · \frac{1}{4x ^{2}}=

= \frac{1}{2x}

 

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