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Esercizi sulle equazioni di 2° grado

Esercizi sulle equazioni di 2° grado

Esercizio n° 1

Risolvi le equazioni di 2° grado pure.

a) 2x² – 8 = 0

Si trasporta il termine noto al secondo membro:

2x² = 8

si divide per il coefficiente di x²:

x²=  \frac{8}{2} = 4

4 > 0, l’equazione ammette due soluzioni opposte:

x = ± \sqrt{4} = ± 2

b) – 4 – 5x² = 3x² – 11

Si trasportano i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo:

– 5x² – 3x² = – 11 + 4

-8x² = – 7

8x² =  7

x² = \frac{7}{8}

essendo \frac{7}{8} > 0 ci sono due soluzioni opposte x = ± \sqrt{\frac{7}{8}}

c) (2x + 2)² + 7x – 3(x + 1) = 12x + 5

4x² + 8x + 4 + 7x – 3x – 3 = 12x + 5

4x² + (8 + 7 – 3 – 12) x =  +5 – 4 + 3

4x²  = +4

x² = \frac{4}{4} = 1

x = ± \sqrt{1} = ± 1

d) \frac{3x ^{2} - 40}{4} – \frac{4 - x ^{2} }{2} – 12 = \frac{(x -1)(x + 1) }{4} + \frac{5}{4}

\frac{3x ^{2} - 40}{4} – \frac{4 - x ^{2} }{2} – 12 = \frac{x ^{2} - 1}{4}   + \frac{5}{4}           m.c.m (2; 4) = 4

\frac{3x ^{2} - 40}{4} – \frac{8 - 2x ^{2} }{4} –  \frac{48 }{4} = \frac{x ^{2} - 1}{4} + \frac{5}{4}         il denominatore si può eliminare

3x² – 40 – (8 – 2x²) – 48 = x² – 1 + 5

3x² – 40 – 8 + 2x² – 48 = x² – 1 + 5

3x² + 2x² -x² = – 1 + 5 + 40 + 8 + 48

(3 + 2 – 1) x² = 100

4x²= 100   ⇒  x² = \frac{100 }{4} = 25

x = ± \sqrt{25} = ± 5

Esercizi sulle soluzioni delle equazioni di primo grado

Esercizi sulle soluzioni delle equazioni di primo grado

Esercizio n° 1

Esegui la verifica di ciascuna equazione di cui è fornita la soluzione.

a) 15x – 5x + 9 = 5x + 24                     soluzione x = 3

1° membro:

15 · 3 – 5 · 9 + 9 = 45 – 15 + 9 = 39

2° membro:

5 · 3 + 24 = 15 + 24 = 39

1° membro = 2° membro

quindi x = 3 è la soluzione

b) 3x + 8 = 9 – x + 3x                     soluzione x = – 2

1° membro:

3 · (-2) + 8 = – 6 + 8 = + 2

2° membro :

9 – (-2) + 3 · (-2) = 9 + 2 – 6 = + 5

1° membro ≠ 2° membro

quindi x = – 2 non è la soluzione

Esercizio n° 2

Risolvi e discuti le equazioni

a) 2x – 5 = 3x – 4

2x – 3x = -4 + 5

-x = +1  ⇒ x = -1    La soluzione è determinata e ammette la soluzione x = – 1

b) 5 – 3x = 2(x + 3) -1

5 – 3x = 2x + 6 – 1

– 3x – 2x = + 6 – 1 – 5

-5x = 0      L’equazione è determinata e ammette la soluzione x = 0

c) – 3x + n5x = 2(x-4)

-3x + 5x = 2x – 8

-3x + 5x – 2x = -8

0x = -8

L’equazione non ha soluzioni e si dice impossibile.

d) 2 – 5x = -3 -5(x – 1)

2 – 5x = -3 – 5x + 5

-5x + 5x = -3 + 5 – 2

0x = 0          L’equazione ammette infinite soluzioni e si dice indeterminata.

e) 2 (x + 5) – 12 + 3(5 – x) = 2(x – 1) – 3(x – 5)

2x + 10 – 12 + 15 – 3x = 2x – 2 – 3x + 15

2x – 3x – 2x + 3x = -2 + 15 – 10 + 12 – 15

(2 -3 – 2) x = 0

0x = 0         L’equazione ammette infinite soluzioni e si dice indeterminata.

f)  \frac{4x + 3}{12} –  \frac{2x+1}{4} =  \frac{x - 1}{3} –  \frac{3x + 1}{6}          m.c.m (3; 4; 6; 12) = 12

 \frac{4x + 3- 6x - 3}{12} =  \frac{4x -1- 6x - 2}{12}         il 12 lo possiamo eliminare moltiplicando entrambe i membri per 12

4x + 3 – 6x – 3 = 4x – 1 – 6x – 2

0 = -3          L’equazione non ha soluzioni e si dice impossibile.

 

 

Equazioni

Equazioni

Esercizio n° 1

Risolvi le equazioni a coefficienti interi.

a) 3x – 2 + 10 = 4 – 2x + 7x

Si applica la legge del trasporto portando i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo:

3x + 2x – 7x = 4 + 2 – 10

si riducono i termini simili:

– 2x = – 4

si cambiano tutti i segni dei termini:

2x = + 4

si divide per il coefficiente della x:

x = + \frac{4}{2} = + 2

b) 2x – 5(x – 4) + 3 = 2(x – 1) + 8

Si eliminano le parentesi svolgendo i calcoli:

2x – 5x + 20 + 3 = 2x – 2 + 8                      il 2x si possono eliminare perchè si trova sia al 1° che al 2° membro

– 5x + 20 + 3 = – 2 + 8

si trasportano i termini noti al secondo membro:

– 5x = – 2 + 8 – 20 – 3

si riducono i termini simili:

– 5x = – 17

si cambia di segno:

5x = + 17

si divide per il coefficiente della x:

x = + \frac{17}{5}

c) 7 – (8x + 2) – 3(3 – 5x) = 4 + 5(2x – 1)

7 – 8x – 2 – 9 + 15x = 4 + 10x – 5

– 8x + 15x – 10x = 4 – 5 – 7 + 2 + 9

-3x = + 3

3x = – 3

x = -\frac{3}{3} = – 1

d) 3x –  [ – 2 (x – 7) + 3x + 9] = 5(2x + 5) + 1 – 4(1 – 3x)

3x –  [ – 2x + 14+ 3x + 9] = 10x +25 + 1 – 4 +12x

3x   + 2x – 14- 3x – 9 = 10x +25 + 1 – 4 +12x

3x  + 2x – 3x – 10x – 12x =  +25 + 1 – 4  + 14 + 9

– 20x = 45

20 x=  – 45

x = -\frac{45}{20} =- \frac{9}{4}

e) 4x – 2 { –    [ -6 (4 – x) + 25 – 5(2x + 3)] } = 3(3 – x) + 8 – 2(x + 4)

4x – 2 { –  [- 24 + 6x + 25 – 10x -15] } = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x – 2 {+ 24 -6x – 25 + 10x +15 } = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x – 48 +12x +50 -20x – 30 = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x + 12x  -20x +3x +2x = 9  + 8  – 8 + 48 – 50 +30

x  = 37

Esercizio n° 2

Risolvi le equazioni a coefficienti frazionari.

a) \frac{4}{5}x – \frac{2}{3} = \frac{1}{2}x + \frac{5}6}                     m.c.m (2; 3 ; 5 ; 6) = 30

equazioni

24x – 20 = 15x + 25

24x – 15x = 25 + 20

9x = 45

x = \frac{45}{9} = 5

b) \frac{2x + 1}{10} – \frac{1 - 3x}{5} + \frac{x - 1}{2} – 2 = 0                            m.c.m. (2 ; 5 ; 10) = 10

equazioni 1

2x + 1 – 2 (1 – 3x) + 5 (x – 1) – 20 = 0

2x + 1 – 2 + 6x + 5x – 5 – 20 = 0

2x + 6x + 5x = – 1 + 2 + 5 + 20

13x = 26

x = \frac{26}{13} = 2

c) \frac{2}{7} (\frac{x}{4} – \frac{1}{2}) – \frac{1}{2} (x + 3) = 3 ( \frac{1}{7} – \frac{x}{2}) – 1                          m.c.m.(2; 4; 7) = 28

equazioni 2

2 (x – 2) – 14 (x + 3) = 6 (2 – 7x ) – 28

2x – 4 – 14x – 42 = 12 – 42x – 28

2x – 14x + 42x = 12 – 28 + 4 + 42

30x = 30

x = \frac{30}{30} = 1

d) \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} (2x – \frac{1}{2}) – \frac{x}{2}  ] = 2 (\frac{x}{2} – \frac{1}{2}) + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [ \frac{1}{2} ( \frac{4x - 1}{2}) – \frac{x}{2}] = 2 ( \frac{x - 1}{2}) + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{4x - 1}{4} – \frac{x}{2}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{4x - 1-2x}{4}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{2x - 1}{4}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{2x - 1}{8} =  x – 1 + \frac{1}{8}                       m.c.m. = 8

equazioni 3

2x – 1 = 8x – 8 + 1

2x – 8x = -8 + 1 +1

– 6x = – 6

6x = + 6

x = \frac{6}{6} = 1

e) \frac{\frac{x + 1 }{3}- \frac{2(x + 1)}{9}}{\frac{1}{3}-1} = \frac{x-2}{3}

\frac{ \frac{3(x +1)-2(x + 1)}{9}}{\frac{1-3}{3}}} = \frac{x-2}{3}

\frac{ \frac{3x +3-2x -2}{9}}{-\frac{2}{3}}} = \frac{x-2}{3}

 \frac{x +1}{9} :( - \frac{2}{3} )= \frac{x-2}{3}

 

 \frac{x +1}{9} · (- \frac{3}{2}) = \frac{x-2}{3}

 \frac{x +1}{3} · (- \frac{1}{2}) = \frac{x-2}{3}

- \frac{x +1}{6} = \frac{x-2}{3}                      m.c.m.(3; 6) = 6

- \frac{x +1}{6} =  \frac{2x-4}{6}       il denominatore si può eliminare come se moltiplicassimo entrambe i membri per 6

– x – 1 = 2x – 4

– x – 2x = + 1 – 4

– 3x = – 3  ⇒  3x = 3 ⇒  x = \frac{3}{3} = +1

Esercizio n° 3

Risolvi le equazioni riducibili a equazioni di 1° grado.

a) (x – 1) (x + 1) – x(x – 2) = 3 (x + 2) + 4        Si eliminano le tonde svolgendo i calcoli

x² – 1 – x² + 2x = 3x + 6 + 4                              i termini con x² si possono eliminare:

2x – 3x = 6 + 4 + 1

– x = + 11

x = – 11

b) (2x – 1)² + 1 – 2(3 – x) = – (2x + 1) (2 – x) – 2x ( 1 – x)

4x² – 4x + 1 + 1 – 6 + 2x = – (4x – 2x² + 2 – x) – 2x + 2x²

4x² – 4x + 1 + 1 – 6 + 2x = – 4x + 2x² – 2 + x – 2x + 2x²

Si trasportano i termini con la x al primo membro e i termini noti al 2°:

4x² + 2x – 2x² – x + 2x – 2x² = -2 – 1 – 1 + 6

si riducono i termini simili:

(4 – 2 – 2)x² + (+2 -1 + 2)x = + 2

3x = + 2

x = \frac{2}{3}

 

 

 

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Data l’equazione 6x – 4 = 4x, la cui soluzione è x = 2, applica il 2° principio di equivalenza secondo quanto indicato e verifica che ottieni un’equazione equivalente.

a) Moltiplica entrambi i membri per – 3.

– 3(6x – 4) = – 3(4x)

-18x + 12 = 12x

Ponendo x = 2 si ottiene:

– 18(2) + 12 = – 12(2)

– 36 + 12 = – 24                       – 24 = – 24

L’equazione è equivalente a quella data.

b) Dividi entrambi i membri per 2.

(6x – 4) : 2 = (4x) : 2

3x – 2 = 2x

Per x = 2 si ottiene:

3(2) – 2 = 2 (2)

6 – 2 = 4                                   4 = 4

L’equazione è equivalente a quella data.

Esercizio n° 2

Per ciascuna equazione, scrivene altre due a essa equivalenti applicando il 2° principio di equivalenza.

a) 3x – 3 = 6x         moltiplico entrambi i membri per 3

3 (3x – 3) = 3 (6x)

9x – 9 = 18 x

b) 2 – 10x = 4x – 12    divido entrambi i membri per 2

(2 – 10x) : 2 = (4x – 12) : 2

1 – 5x = 2x – 6

Esercizio n° 3

Trasforma l’equazione data in un’altra equivalente con coefficienti interi.

a) \frac{5}{4}x – \frac{1}{2} = 3x + \frac{1}{3}           Si moltiplicano entrambi i membri per il m.c.m. (2; 3; 4) = 12

12 · \frac{5}{4} x – 12 · \frac{1}{2} = 12 · 3x + 12  ·\frac{1}{3}

15 x – 6 = 36 x + 4

b) \frac{1}{4}x – \frac{5}{6} =\frac{1}{2} x +  \frac{1}{3}                 Si moltiplicano entrambi i membri per il m.c.m (2; 3; 4; 6) = 12

12 · \frac{1}{4}x – 12 · \frac{5}{6} = 12 · \frac{1}{2} x  + 12 · \frac{1}{3}           Semplificando si ottiene:

3x – 10 = 6x +4

c) \frac{3}{5} x – \frac{2}{3} = 2x – \frac{1}{5}                        Si moltiplicano entrambi i membri per il m.c.m (3 ; 5 ) = 15

15 · \frac{3}{5}x – 15 · \frac{2}{3} = 15 · 2x – 15 ·\frac{1}{5}                     Semplificando si ottiene:

9x – 10 = 30x – 3

Vedi esercizi primo principio di equivalenza

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Considera l’equazione 6x + 3 = 9x, la cui soluzione è x = 1, applica il 1° principio di equivalenza secondo quanto imndicato e verifica che ottieni nun’equazione equivalente.

a) Addiziona a entrambi i membri 5

6x + 3 + 5 = 9x + 5

Ponendo x = 1 si ottiene:

6(1) + 3 + 5 = 9(1) + 5

6 + 3 + 5 =  9 + 5                   14 = 14

x = 1 è la soluzione, quindi l’equazione è equivalente a quella data.

b) Sottrai a entrambe i membri 4x.

6x + 3 – 4x = 9x – 4x

Ponendo x = 1 si ottiene:

6(1) + 3 – 4(1) = 9(1) – 4(1)

6 + 3 – 4 = 9 – 4                           5 = 5

Si è ottenuta un’equazione equivalente a quella data.

Esercizio n° 2

In ciascuna equazione, porta i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo, applicando la regola del trasporto.

a) 4x – 6  = 8 – 3x

Per la legge del trasporto è possibile trasportare un termine da un membro all’altro purchè lo si cambi di segno, quindi si ottiene:

4x + 3x = 8 + 6

7x = 14

b) 4 – 7x + 11 = 3 – 5x

Per vla legge del trasporto è possibile trasdportare un termine da un membro all’altro purchè lo si cambi di segno, quindi si ottiene:

– 7x + 5x = 3 – 4 – 11

– 2x = – 12

c) 6x – 2 + 2x = 4x – 7

6x – 4x  + 2x = – 7 + 2

4x = – 5

d) – 8x + 11 – 3x = 15 – 5x

– 8x – 3x + 5x = + 15 – 11

– 6x = + 4

e) 9 – 24x = – 3x + 12 – 11x

– 24x  + 3x + 11x = – 9 + 12

– 10x = + 3

Esercizio n° 3

Stabilisci quali termini si possono eliminare e scrivi l’equazione che si ottiene.

a)– 4x – 5 + 8x = 4x + 3 + 8x

E’  possibile eliminare termini uguali presenti in entrambi i membri; + 8x è presente in entrambi i membri , quindi l’equazione diventa:

– 4x – 5 = 4x + 3

b) – 5x – 7 + 8x = 7 – 4x – 5x

-7 + 8x = 7 – 4x

c) x – 5 + 6x – 4 = 6x + 5 – 4

x – 5 – 4 = + 5 – 4

Vedi esercizi secondo principio di equivalenza

Esercizi sulle equazioni

Esercizi sulle equazioni

Esercizio n° 1

Stabilisci quale dei due valori attribuiti alla lettera x è soluzione dell’equazione.

a) 12 – ( 8 – 2x) = 5x + 10                x = 0;     x = -2

Attribuendo alla x il valore 0, si ottiene:

1° membro             12 – ( 8 – 2· 0) = 12 – (8 – 0) = 12 – 8 = 4

2° membro            5 · 0 + 10 = 0 + 10 = 10

Le due espressioni non hanno lo stesso valore, quindi:   x = 0 non è una soluzione

Attribuendo alla x il valore – 2 si ottiene :

1° membro             12 -[ ( 8 – 2·(-2)] = 12 – (8 + 4) = 12 – 12= 0

2° membro            5 · (-2) + 10 =- 10 + 10 =0

Le due espressioni  hanno lo stesso valore, quindi:   x = -2  è una soluzione.

b) 4x – 9 = 5 – 2x             x = 2

1° membro       4 · 2 – 9 =8 – 9 = – 1

2° membro        5 – 2  · 2 = 5 – 4 = 1

Le due espressioni non hanno lo stesso valore, quindi:   x = 2 non è una soluzione.

c) 3 + x = 5 (1 – 3x)              x = 0

1° membro       3 + 0 = 3

2° membro        5 (1 – 3 · 0) = 5 (1) = 5

Le due espressioni non hanno lo stesso valore, quindi:   x = 0 non è una soluzione.

d) 3x² – 5x = 2              x = 2

1° membro       3 ( 2)² – 5 (2) =  3 · 4 – 10 = 12 – 10 = 2

2° membro      2

Le due espressioni  hanno lo stesso valore, quindi:   x = 2  è una soluzione.

Esercizio n° 2

Stabilisci il tipo di equazione.

a ) \frac{2}{3} x – 5 = \frac{5}{4} + x                 L’incognita x non è al denominatore, quindi l’equazione è intera.

b) \frac{4}{x} – 3x = 5                           L’incognita x  è al denominatore, quindi l’equazione è fratta.

Esercizio n° 3

Considera l’equazione 4x – 2 = 10, la cui soluzione è x = 3, stabilisci per ciascuna delloe seguenti equuazioni se sono a essa equivalenti.

a) 4 – x = 3x + 2

Per essere vequivalenti deve avere la stessa soluzione ; sostituendo alla x il valore x = 3 si ottiene:

4 – 3 = 3 · (3) + 2

1 = 9 + 2                         1 = 11

L’uguaglianza non è vera, quindi x = 3 non è una soluzione; pertanto le due equazioni non sono equivalenti.

b) 5x – 4 = 2x + 5

Ponendo x = 3 si ottiene:

5 (3) – 4 = 2 (3) + 5

15 – 4 = 6 + 5                        11 = 11

L’uguaglianza è vera, quindi x = 3 è soluzione; le due equazioni sono equivalenti.

Esercizi sulle uguaglianze

Esercizi sulle uguaglianze

Esercizio n° 1

Trasforma ciascuna frase in un’uguaglianza letterale.

a) La somma tra il doppio di un numero e 3 è uguale al quadruplo del numero stesso.

Se si indica il numero con x si ottiene:

doppio del numero  = 2x                       quadruplo del numero = 4x

L’uguaglianza letterale è : 2x + 3 = 4x

b) Il quadrato di un numero diminuito del numero stesso è uguale al triplo del numero aumentato di 5

L’uguaglianza letterale è : x² – x = 3x + 5

c) Il doppio di un numero diminuito di 5 è uguale al numero stesso.

L’uguaglianza letterale è : 2x – 5 = x

d) La somma di un numero e del suo quadrato è uguale a 2.

L’uguaglianza letterale è :  x + x² = 2

e) La differenza tra il quadrato di un numero e il numero stesso è uguale al triplo del numero.

L’uguaglianza letterale è :  x² – x = 3x

f) Il cubo della differenza tra il quadrato di un numero e il numero stesso è uguale al doppio del numero diminuito di 3.

L’uguaglianza letterale è : (x² – x)³ = 2x – 3

Esercizio n° 2

Eseguendo i calcoli stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono identità.

a) 2(2a – 1) = 4a – 2

Svolgendo i calcoli si ottiene:

4a – 2 = 4a – 2

L’uguaglianza è un’identità perchè le due espressioni sono identiche.

b) 3(a + 7) = a + 3

Svolgendo i calcoli si ottiene:

3a + 21 = a + 3

Le due espressioni non sono identiche, quindi l’uguaglianza non è un’identità.

c) (a + b)² – 4ab = a² – b (2a – b)                                             (a + b)² = a² +2ab + b²

Svolgendo i calcoli si ottiene:

a² +2ab + b² – 4ab = a² -2ab + b²

a² -2ab + b² = a² -2ab + b²

L’uguaglianza è un’identità.

d) (a + 2b)x – 5bx = (a – 3b)x

ax + 2bx – 5bx = ax – 3bx

ax – 3bx =  ax – 3bx                E’ un’identità

e) (2a + 1) (-6a² – 5a + 3) = -4a²(3a – 4) + a + 3

-6a³ -10a² + 3a -6a² -5a + 3 =  – 12a³ – 16a² + a + 3

-6a³ -16a² -2a +3 = – 12a³  – 16a² + a + 3     Non è un’identità

f) (2x + 2)² = 2(x + 1)² + 2(x + 1)²

4x² + +8x + 4 = 2(x² + 2x + 1) + 2( x² + 2x + 1)

4x² + +8x + 4 = 2x² + 4x + 2 + 2x² + 4x +2

4x² + +8x + 4 = 4x² + +8x + 4                  E’ un’identità

Esercizio n° 3

Sostituendo la lettera x i valori assegnati, stabilisci se le uguaglianze sono identità o equazioni.

a) 3(5- 2x) = 2x + 15 – 8x                        x = 0 ; -1  ; +3

x = 0        

3(5 – 2·0) = 2 · 0 + 15 – 8 · 0

3(5 – 0) = 0 + 15 – 0                15 = 15

x = – 1

3(5 + 2) = -2 + 15 + 8

3 · 7 = 21                                    21 = 21

x = + 3

3 ( 5 – 6) = 6 + 15 – 24

3 ( – 1) = – 3                              -3 = -3

L’uguaglianza è sempre verificata, quindi è un’identità.

b) 3x – (x – 3) = 21 – x             x = 0 ; -2 : +6

x = 0

0 – ( 0 – 3) = 21 – 0

0 – (-3) = 21                                3 ≠ 21

x = -2 

– 6 – (-2 -3) = 21 – (-2)

– 6 + 5 = 21 + 2                          – 1 ≠ 23

x = + 6

18 – (6 – 3) = 21 – 6

18 – 3 = 15                                    15 = 15

L’uguaglianza è verificata solo per x = 6, quindi è un’equazione.

 

 

 

Equazione di secondo grado

Equazioni di secondo grado

equazione

equazione di secondo grado

Le equazioni di secondo grado sono quelle in cui il grado massimo dei suoi termini è 2.

Tali equazioni non sono di facile soluzione. In questo corso di studio si considerano solo le equazioni pure cioè quelle in cui è presente solo il termine noto e il termine di 2° grado.

Per esempio:  x² – 25 = o   è un’equazione pura

Un’equazione di 2° grado si dice pura se non contiene termini di 1° grado.

Per risolvere un’equazione di secondo grado si eseguono una serie di passaggi che portano a un’equazione nella forma normale equivalente a quella data, per esempio:

– 5x + x(4x + 3) = – 2x + 49       si eliminano le parentesi

-5x + 4x² + 3x = -2x + 49          si applica la regola del trasporto

– 5x + 4x² + 3x + 2x = + 49       si riducono i termini simili

+ 4x² = + 49                                 equazione in forma normale

Si applica il 2° pri:ncipio di equivalenza:

\frac{4}{4} x² = +\frac{49}{4}         da cui    x² = +\frac{49}{4}

Si estrae la radice quadrata:

x = ± \frac{7}{2}              quindi:    x_{{1}}= + \frac{7}{2}  e   x_{{2}}= – \frac{7}{2}

Questo perchè sia il quadrato di un numero positivo +\frac{7}{2} , sia il quadrato di un numero negativo – \frac{7}{2}  sono uguali a +\frac{49}{4}  .

L’equazione ha quindi due soluzion date da numeri relativi opposti.

Se abbiamo x² = – 9  essa non ha soluzioni perchè \sqrt{- 9} non è un numero reale.

In generale, un’equazione pura di 2° grado si può scrivere in forma normale:

ax² = b   con a≠ 0  la formula risolutiva è:

x = ± \sqrt{\frac{b}{a}}

quindi:

  • se \frac{b}{a} > 0  l’equazione ammette due soluzioni opposte x_{{1}} =  + \sqrt{\frac{b}{a}}  e  x_{{2}} =  – \sqrt{\frac{b}{a}}
  • se \frac{b}{a} <0 l’equazione si dice impossibile cioè non ammatte soluzioni in quanto nell’insieme R non esiste la radice quadrata di un numero negativo.

Vedi gli esercizi

Equazioni

L’equazione è il modello algebrico di un problema e contiene tutti i dati e tutte le relazioni che servono per trovare la soluzione.

Si chiama equazione una uguaglianza fra due espressioni algebriche letterali che è verificata solo per particolari valori che si attribuiscono alle lettere. Quindi risolvere un’equazione significa determinare tutte le soluzioni o radici.

Le lettere che compaiono in un’equazione  sono dette incognite e per esempio:

2+ 7= + 4        è un’equazione ad un’ incognita

2y= +14         è un’equazione a due incognite

3x + 2z=44     è un’equazione a tre incognite

I numeri che moltiplicano l’incognita sono detti coefficienti.

I termini che non contengono l’incognita sono detti termini noti.

I valori che, assegnati all’incognita, rendono vera l’uguaglianza si dicono soluzioni o radici dell’equazione.

IL GRADO di un’equazione è il massimo grado dei suoi termini così:

x – 3=2x – 5                 è di primo grado

x² – 3x + 4 = 3x² – 5  è di secondo grado

4x³ + 5x² = x + 12      è di terzo grado

Un’equazione si dice:

  • intera se non appare l’incognita al denominatore \frac{1}{2}x ^{2}+x-1=\frac{3}{4}.
  • frazionaria, quando l’incognita compare al denominatore \frac{7}{x+1}+x=6
  • numerica se oltre all’incognita non compaiono altre lettere \frac{7}{8}x ^{2}+x=\frac{5}{2}
  • letterale se compaiono anche delle lettere 2ax³+5ab=abx+12b
  • determinata quando ammette soluzioni
  • impossibile quando non ammette soluzioni quindi non c’è alcun numero che attribuito alla x verifichi l’equazione 3(x-2)=3x+1
  • indeterminata quando è verificata da qualsiasi valore che si attribuisce all’incognita; cioè quando è un’identità 5x-2=3(x-1)+2x+1

Due equazioni di primo grado ad un’incognita si dicono equivalenti se hanno la stessa radice:

4x-3=5  ⇒ x=+2;       3x+1=+7⇒ x=+2  infatti è facile verificare che ammettono entrambi la stessa radice x=+2

Risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue soluzioni o radici.

Vedi gli esercizi

Secondo principio di equivalenza

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per una stessa espressione letterale o numerica, diversa da 0, si ottiene un’equazione equivalente all’equazione data.

Esempi

1) 4x -2 =14  che ha per radice x=+4

Moltiplicando entrambi i membri per +3 si ha:

(4x-2)·(+3)=(14)·(+3) cioè

12x – 6=+42

La soluzione è ancora x=4 e quindi l’equazione ottenuta è equivalente a quella data.

Se dividiamo ora entrambi i membri per 2 otteniamo:

(4x – 2): 2 =14 : 2    da cui    2x – 1 = 7

La soluzione è ancora x=4 e quindi l’equazione ottenuta è equivalente a quella data.

2) 4x+2=14-2x  che ha per radice  x=+2

Dividiamo entrambi i membri per due:

\frac{4x+2}{2}=\frac{14-2x}{2}  ⇒ 2x + 1=7 – x  ⇒  3x=6   per eliminare il 3 da vicino alla x si divide il primo e il secondo membro per 3

\frac{3x}{3}=\frac{6}{3}  ⇒x=2

Una conseguenze del secondo principio di equivalenza è:

Cambiando segno a tutti i termini di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente.

Infatti questo corrisponde a moltiplicare entrambi i membri per -1.

Esempio:

-3x + 4=7 – 5x  moltiplico entrambi i membri per -1 si ottiene un’equazione equivalente a quella data:

(-1)(-3x+4)=(-1)(7-5x)  ⇒ +3x -4=-7 + 5x.

Il secondo principio è importante se si hanno equazioni frazionarie, infatti: se una equazione ha uno o più coefficienti frazionari se ne può ottenere un’altra equivalente moltiplicando tutti i suoi termini per il m.c.m. dei denominatori.

\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}          che ha soluzione x=2

Facciamo il minimo comune multiplo:

\frac{2x+3}{6}=\frac{4x+1}{6}

Moltiplicando entrambi i membri per 6 ottengo un’equazione con coefficienti interi:

6 ·\frac{2x+3}{6}=\frac{4x+1}{6}  ⇒  2x+3=4x+1.

La soluzione è ancora x=2

Vedi primo principio di equivalenza

Vedi gli esercizi