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Tag Archives: EQUAZIONI

Esercizi sulle equazioni fratte

Esercizi sulle equazioni fratte

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3}{x ^{2}-x - 6} + \frac{5}{x ^{2}+2x} = \frac{2}{x +2} – \frac{2}{x -3}   (5\6)

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione.

\frac{ x^{2}}{x - 3} – x – 1 = \frac{1}{2}   (-3)

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x+1}{x-1} – 2 = \frac{2x}{x-1}   (imposs)

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione.

\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}} + \frac{20x - 32}{4x} = 6 + \frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}    (1)

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3x + 5}{6x ^{2}+3x} + \frac{4x ^{2}+9}{4x ^{2}-1} = \frac{x + \frac{3}{2}}{3x} + \frac{8}{3} \frac{ x^{2}}{(1 - 4 x^{2})}   (1\10)

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione.

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{x ^{2}+8x +15} + \frac{2x + 2}{x + 3} = – 1 + \frac{15 - 9x}{x + 5} + 2x    (1)

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x}{x ^{2}-4} – \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x ^{2}+4x+4} = 0  (imposs)

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente equazione.

\frac{1+2x}{x} – \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x - 3x ^{2}} = 0       (5)

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione.

x (\frac{1}{x-2} + \frac{1}{1 -x}) – (x – 2) ( \frac{1}{x -1} – \frac{1}{x}) = \frac{4}{ x^{2}-2x}   (indet. , per x diverso da 0 , 1 , 2)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3}{x ^{2}-x - 6} + \frac{5}{x ^{2}+2x} = \frac{2}{x +2} – \frac{2}{x -3}                                    x² – x – 6 = (x -3)(x + 2)

\frac{3}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{5}{x(x +2)} = \frac{2}{x +2} – \frac{2}{x -3}

\frac{3x + 5(x - 3)}{x(x - 3)(x + 2)}  = \frac{2x( x- 3)- 2x (x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}                 x≠0 ;    x – 3≠0 quindi  x ≠3    infine x+2≠0 quindi x≠- 2

\frac{3x + 5(x - 3)}{x(x - 3)(x + 2)} - \frac{2x( x- 3)- 2 x(x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}    = 0

\frac{3x + 5(x - 3)-2x( x- 3)+ 2x (x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}  = 0

3x + 5x – 15 -2x² + 6x +2x² + 4x = 0

18x = + 15

\frac{18}{18} x = \frac{15}{18}  ⇒  x = \frac{15}{18} semplificando si ha \frac{5}{6}

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione.

\frac{ x^{2}}{x - 3} – x – 1 = \frac{1}{2}   (-3)

\frac{ x^{2}}{x - 3} – x – 1 – \frac{1}{2}  = 0

\frac{2 x^{2}-2x(x-3)-2(x-3)-(x.-3)}{2(x - 3)}
 = 0                C.E. x-3 ≠ 0

2x² – 2x² +6x -2x + 6 -x + 3= 0

3x = -3 -6   ⇒  3x = -9

x = -\frac{9}{3} = -3

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x+1}{x-1} – 2 = \frac{2x}{x-1}

\frac{x+1}{x-1} – 2 – \frac{2x}{x-1}   =0

\frac{x+1-2(x -1)-2x}{x-1}  =0                C.E. x-1 ≠ 0       x ≠1

x + 1 -2x + 2 – 2x = 0

x -2x -2 = -2 – 1

-3x = -3   ⇒ x = \frac{-3}{-3} = +1               impossibile

 

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione.

\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}} + \frac{20x - 32}{4x} = 6 + \frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}

\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}} + \frac{20x - 32}{4x} – 6 – \frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}   =0

\frac{4x(6x + 3) + ( x-2)^{2}(20x - 32)-24x(x-2)^{2}-4(1-x^{2})(x-2)}{4x(x - 2) ^{2}}  =0        C .E.   x≠0   x-2≠ 0⇒  x ≠2

24x² + 12x +( x² + 4 – 4x)(20x – 32) – 24x(x² + 4 – 4x) + (-4 + 4x²)(x – 2) =0

24x² + 12x +20x³ – 32x² + 80x -128 -80x² +128x – 24x³ -96x + 96x² -4x +8 +4x³ -8x² =0

12x +80x +128x -96x -4x = +128 -8

120x = 120   ⇒ x = 1

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3x + 5}{6x ^{2}+3x} + \frac{4x ^{2}+9}{4x ^{2}-1} = \frac{x + \frac{3}{2}}{3x} + \frac{8}{3} \frac{ x^{2}}{(1 - 4 x^{2})}

\frac{3x + 5}{3x(2x +1)} + \frac{4x ^{2}+9}{(2x -1)(2x + 1)}  - (\frac{2x + 3}{2})(\frac{1}{3x}) -  \frac{8}{3} (\frac{x ^{2}}{(2x -1)(2x + 1)} )

 \frac{2(2x-1)(3x + 5)+6x(4x ^{2}+9)-(2x +1)(2x - 1)(2x + 3)- 16x ^{3}}{6x(2x -1)(2x + 1)}          C.E. 6x≠0⇒   x≠0;    2x – 2≠0   ⇒  2x = 2⇒  x = 1

(4x -2)(3x + 5) +24x³ +54x -(4x² – 1)(2x + 3) – 16x³  =0                                           2x + 1 ≠0  ⇒   x ≠ –\frac{1}{2}

12x² + 20x -6x – 10 +24x³ +54x -8x³ -12x² +2x + 3 – 16x³ =0

20x -6x +54x +2x = +10 -3

70x = 7 ⇒ x=\frac{1}{10}

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione.

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{x ^{2}+8x +15} + \frac{2x + 2}{x + 3} = – 1 + \frac{15 - 9x}{x + 5} + 2x

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{(x+3)(x+5)}         \frac{2x + 2}{x + 3} = – 1 + \frac{15 - 9x}{x + 5} + 2x

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18+ (x+5)(2x+2)}{(x+3)(x+5)} = \frac{-(x+3)(x+5)+ (x+3)(15-9x)+2x(x+3)(x+5)}{(x+3)(x+5)}

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18+2x ^{2 }+2x+10x+10 }{(x+3)(x+5)}  = \frac{-x^{2}-8x-15+15x-9x ^{2}+45 -27x +2x(x ^{2}+8x+15)}{(x+3)(x+5)}

C.E.             x+3 ≠o⇒   x≠-3   e   x+5≠o⇒   x≠-5

2x³ +4x² +18 + 2x² + 2x + 10x + 10 = -x² -8x – 15 +15x – 9x² +45 -27x +2x³ +16x² +30x

2x³ +4x²+ 2x² + 2x + 10x + +8x -15x + 9x² +27x -2x³16x² -30x = -15 +45 -18 -10

2x = 2 ⇒  x = 1

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x}{x ^{2}-4} – \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x ^{2}+4x+4} = 0

\frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x +2)^{2}}

 \frac{x(x+2)- (x+2)^{2}+2(x-2)}{(x-2)(x +2)^{2}} = 0           C.E.  x-2≠ 0 ⇒ x ≠2  e  x+2≠ 0 ⇒ x ≠ -2

x² +2x – (x² +4x + 4) +2x – 4 = 0

x² +2x – x² -4x – 4+2x – 4 = 0

+2x – x² -4x  +2x = 8

0 = 8 impossaibile

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente equazione.

\frac{1+2x}{x} – \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x - 3x ^{2}} = 0

\frac{1+2x}{x} - \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x (1-3x)}  = 0

\frac{1+2x}{x} + \frac{6x}{1 -3x} + \frac{4}{x (1-3x)}  = 0

 \frac{(1+2x)(1-3x)+6x ^{2}+4}{x (1-3x)} 
 = 0                 C.E.  x≠0  e  1-3x≠0 ⇒  x ≠ \frac{1}{3}

1 – 3x + 2x -6x² + 6x²+ 4 = 0

– 3x + 2x -6x² + 6x² = -5

-x = -5 ⇒  x = 5

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione.

x (\frac{1}{x-2} + \frac{1}{1 -x}) – (x – 2) ( \frac{1}{x -1} – \frac{1}{x}) = \frac{4}{ x^{2}-2x}

x (\frac{1 - x +x-2}{(x-2)(1-x)} )  – (x-2)( \frac{x - x + 1}{x(x -1)} )  = \frac{4}{x(x-2)}

 x (\frac{-1}{(x-2)(1-x)} )  - (x-2)( \frac{1}{x(x -1)} )  = \frac{4}{x(x-2)}

\frac{-x}{(x-2)(1-x)}   +  \frac{-(x-2)}{x(x -1)}   = \frac{4}{x(x-2)}  il meno del primo numeratore lo uso per cambiare il primo denominatore e renderlo uguale al secondo

\frac{x}{(x-2)(x-1)}   +  \frac{-(x-2)}{x(x -1)}   = \frac{4}{x(x-2)}

\frac{x ^{2}+(-x+2)(x-2)-4(x-1)}{x(x-2)(x-1)}    = 0 C.E.  x≠0 e x-2≠0 ⇒ x≠2  e x-1≠0 ⇒ x≠1

x² – x² +2x +2x – 4 = 4x – 4

x² – x² +2x +2x – 4x = -4 + 4

0 = 0   (indet. , per x diverso da 0 , 1 , 2)

 

Esercizi sulle equazioni numeriche intere

Esercizi sulle equazioni numeriche intere

Esercizio n° 1

Svolgi la seguente equazione.

3(x + 2) – (2x + 1) = 10 – 3 (x – 1) – 4x    (1)

Esercizio n° 2

Svolgi la seguente equazione.

2(x – 3) – 5(1 + x) – 1 = x + 2( 1 – x)    (-7)

Esercizio n° 3

Svolgi la seguente equazione.

5 + 2(4 – x) + 3 (x-5) = 6(x + 2) – 3(4x – 7)      (5)

Esercizio n° 4

Svolgi la seguente equazione.

3x (x – 1) – (1 + x)(-4) = 2x² – (1 – x)(1 + x) + 4     (-1)

Esercizio n° 5

Svolgi la seguente equazione.

5 – [ – (x – 1) – 5(2x – 1) ] =2 + x + 5(2x – 3)   (impos)

Esercizio n° 6

Svolgi la seguente equazione.

x – 1 + 5(x – 3) + (-2)² = 6 (x – 2)            (indet.)

Esercizio n° 7

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2} (1 + 2x) – x + \frac{2}{5}(x + 2) = \frac{3}{10}x – \frac{1}{2}          (-18)

Esercizio n° 8

Svolgi la seguente equazione.

2(x – 1)(1 + x) + (2 – x)³ + 12x = 2(2x – 1)(1 + 2x) – x³ + 8   (indet.)

Esercizio n° 9

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2}(x – 1) + \frac{1}{4}(x + 1) + x (\frac{1}{2}- 2) = 1 – 2x    (1)

Esercizio n° 10

Svolgi la seguente equazione.

(2x – 1) (\frac{1}{3}- \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}x = 4 + \frac{x}{6}   (impos)

Esercizio n° 11

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2x + 1}{10} – \frac{1 - 3x}{5} + \frac{x - 1}{2} – 2 = 2(x – 2)           (2)

Esercizio n° 12

Svolgi la seguente equazione.

(\frac{3}{4} – 3x) (\frac{4}{3} – 2x) = 4x (3x + \frac{1}{2}) – (2x – \frac{3}{2}) (3x – \frac{1}{2})   (7\52)

Esercizio n° 13

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2x - 1}{3}(x - \frac{1}{3})- \frac{1}{3} [x² + x(x – \frac{1}{4})]  = \frac{1}{4}(x + \frac{2}{3})           (-1\13)

Esercizio n° 14

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2(x - 1)( x ^{2}+ x + 1)}{5} = 3 – 2x + \frac{(x ^{2}- x + 1)(x + 1)}{3} + \frac{x ^{3}-11}{15}   (3\2)

Esercizio n° 15

Svolgi la seguente equazione.

\frac{3x + 2}{5} + \frac{1}{2}x – \frac{1}{5}[ x + 2 – \frac{1}{2}(x – \frac{2}{3})]  = \frac{3x + 1}{10} + \frac{2}{3}x    (5)

Esercizio n° 16

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1 + x ^{2}}{5}  – \frac{1}{4} x – \frac{1}{20} = \frac{(x - 1) ^{2}}{5} + \frac{3}{2} – 1  (11\3)

Esercizio n° 17

Svolgi la seguente equazione.

\frac{x}{10} + \frac{(2 - 3x) ^{2}}{30} + \frac{x}{10}(1 – x) + \frac{2}{15}(1 + 5x) = \frac{x}{5} (3 + x) – \frac{x - 2}{6}   (2)

Esercizio n° 18

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2}[- \frac{x - 1}{3} ( \frac{1}{2} – 2) + \frac{1 - 2x}{6}] : 3 = 2 (\frac{1}{6} – \frac{x}{3}) + \frac{1}{6}(5x – \frac{1}{6}) + x – \frac{41}{36}x   (imposs)

Esercizio n° 19

Svolgi la seguente equazione.

(x – \frac{1}{4})² – (2x + \frac{1}{3}) (2x – \frac{1}{3}) + 5x ( x – \frac{1}{4}) – \frac{1}{144} = ( x + \frac{1}{3}) (2x – \frac{5}{2}) + \frac{2}{3}   (-4)

Esercizio n° 20

Svolgi la seguente equazione.

(x –  \frac{1}{3})³ – (\frac{2}{5}x – 1)(2 – x) – x(\frac{2}{5}x + 3) = x²(x – 1) –  \frac{1}{3}(2 – x) – \frac{1}{27}  (5\9)

Esercizio n° 21

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2(x + 1) + \frac{1}{2}(x + 2)}{2} + \frac{\frac{x - 2}{3}- \frac{x}{2}}{3} = x + \frac{5}{3}  (2)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Svolgi la seguente equazione.

3(x + 2) – (2x + 1) = 10 – 3 (x – 1) – 4x

3x + 6 – 2x – 1 = 10 – 3x + 3 – 4x

3x – 2x + 3x + 4x = 10 + 3 – 6 + 1

8x =+ 8

x = 1

Esercizio n° 2

Svolgi la seguente equazione.

2(x – 3) – 5(1 + x) – 1 = x + 2( 1 – x)

2x – 6 – 5 – 5x – 1 = x + 2 – 2x

2x – 5x – x + 2x = 2 + 6 + 5 + 1

-2x = 14    \frac{-2}{-2}x = \frac{14}{-2}

x = – \frac{14}{2} = -7

 

Esercizio n° 3

Svolgi la seguente equazione.

5 + 2(4 – x) + 3 (x-5) = 6(x + 2) – 3(4x – 7)

5 + 8 – 2x + 3x – 15 = 6x + 12 – 12x + 21

-2x + 3x – 6x + 12x = 12 + 21 – 5 – 8 + 15

7x = 35   ⇒   \frac{7}{7}x = \frac{35}{7}

x = 5

Esercizio n° 4

Svolgi la seguente equazione.

3x (x – 1) – (1 + x)(-4) = 2x² – (1 – x)(1 + x) + 4

3x² – 3x – (-4 – 4x) = 2x² – (1 – x²) + 4

3x² – 3x  + 4 + 4x = 2x² – 1 + x² + 4

3x² – 2x² – x² – 3x + 4x = -1 + 4 – 4

x = -1

Esercizio n° 5

Svolgi la seguente equazione.

5 – [ – (x – 1) – 5(2x – 1) ] =2 + x + 5(2x – 3)

5 – ( -x +1 -10x + 5 ) = 2 + x + 10x – 15

5 +x – 1 + 10x – 5 = 2 + x + 10x – 15

x + 10x – x – 10x = 2 – 15 – 5 + 1 + 5

0 = -12   impossibile

Esercizio n° 6

Svolgi la seguente equazione.

x – 1 + 5(x – 3) + (-2)² = 6 (x – 2)

x – 1 + 5x – 15 + 4 = 6x – 12

6x – 6x = -12 + 1 + 15 – 4

0 = 0  indeterminata

Esercizio n° 7

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2} (1 + 2x) – x + \frac{2}{5}(x + 2) = \frac{3}{10}x – \frac{1}{2}

\frac{1}{2}  + x – x +  \frac{2}{5}x + \frac{4}{5} = \frac{3}{10}x – \frac{1}{2}

\frac{2}{5}x –  \frac{3}{10}x = – \frac{1}{2} – \frac{1}{2}  – \frac{4}{5}

10 · \frac{4x - 3x}{10} = \frac{- 5 - 5-8}{10}  · 10

4x – 3x = – 18

x = -18

Esercizio n° 8

Svolgi la seguente equazione.

2(x – 1)(1 + x) + (2 – x)³ + 12x = 2(2x – 1)(1 + 2x) – x³ + 8

2(x² – 1) + 8 + 3 (2)² (-x) + 3(2)(-x)² -x³ + 12x = 2 (4x² – 1) – x³ + 8

2x² – 2 + 8 -12x +6x² – x³ + 12x = 8x² – 2 – x³ + 8 

2x² + 6x² = 8x²

8x² – 8x²= 0

0 = 0  indeterminata

Esercizio n° 9

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2}(x – 1) + \frac{1}{4}(x + 1) + x (\frac{1}{2}- 2) = 1 – 2x

\frac{1}{2}x – \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x  + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x – 2x = 1 – 2x

\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x  + \frac{1}{2}x = + \frac{1}{2} –  \frac{1}{4} + 1

4 ·\frac{2x + x + 2x}{4} = \frac{2 - 1 + 4}{4} · 4

5x = 5  ⇒   \frac{5}{5} = \frac{5}{5}

x = 1

Esercizio n° 10

Svolgi la seguente equazione.

(2x – 1) (\frac{1}{3}- \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}x = 4 + \frac{x}{6}

\frac{2}{3}x – x – \frac{1}{3} + \frac{1}{2} +  \frac{1}{2}x = 4 + \frac{x}{6}

\frac{2}{3}x – x +  \frac{1}{2}x –\frac{x}{6}    = 4 + \frac{1}{3} – \frac{1}{2}

6 · \frac{4x -6x +3x -x}{6} \frac{24 + 2 - 3}{6} · 6

0 =23  impossibile

Esercizio n° 11

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2x + 1}{10} – \frac{1 - 3x}{5} + \frac{x - 1}{2} – 2 = 2(x – 2)

10 ·\frac{2x + 1 -2(1-3x)+5(x - 1)- 20}{10}  = \frac{20(x-2)}{10}  · 10

2x + 1 – 2 + 6x + 5x – 5 – 20 = 20x – 40

2x + 6x + 5x – 20x = -40 – 1 + 2 + 5 + 20

-7x = -14  ⇒   \frac{-7}{-7} x = \frac{-14}{-7}

x = 2

Esercizio n° 12

Svolgi la seguente equazione.

(\frac{3}{4} – 3x) (\frac{4}{3} – 2x) = 4x (3x + \frac{1}{2}) – (2x – \frac{3}{2}) (3x – \frac{1}{2})

\frac{3}{4} ·\frac{4}{3}  +\frac{3}{4} · (-2x) – 3x(\frac{4}{3}) -3x (-2x) = 12x² + 4x (\frac{1}{2}) – (6x² -x – \frac{9}{2} x + \frac{3}{4} )

1 – \frac{6}{4} x -4x +6x² = 12x² + 2x -6x² + x +  \frac{9}{2} x –\frac{3}{4}

– \frac{6}{4} x -4x +6x² – 12x² -2x + 6x² – x –  \frac{9}{2} x  = –\frac{3}{4} – 1

– \frac{6}{4} x  -7x –  \frac{9}{2} x = –\frac{3}{4} – 1

4 · \frac{-6x-28x - 18x }{4}  = \frac{-3 - 4}{4}  · 4

-52x = – 7   ⇒  \frac{-52 }{-52}  x = \frac{-7 }{-52}

x = \frac{7 }{52}

Esercizio n° 13

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2x - 1}{3}(x - \frac{1}{3})- \frac{1}{3} [x² + x(x – \frac{1}{4})]  = \frac{1}{4}(x + \frac{2}{3})

\frac{ 2x^{2}-x}{3} – \frac{ 2x-1}{9} – \frac{1}{3} (x² + x² –  \frac{1}{4}x ) =  \frac{1}{4}x + \frac{1}{6}

\frac{ 2x^{2}-x}{3} – \frac{ 2x-1}{9} –  \frac{1}{3}x² –   \frac{1}{3}x²  + \frac{1}{12}x =   \frac{1}{4}x + \frac{1}{6}

36 · \frac{12(2x ^{2}-x)-4(2x - 1)-12x ^{2}-12x ^{2}+3x}{36} = \frac{9x + 6}{36}  ·36

24x² – 12x – 8x + 4 – 12x² – 12x² + 3x = 9x + 6

24x² – 12x² – 12x² – 12x – 8x + 3x – 9x = 6 -4

-26x = 2  ⇒  \frac{-26}{-26}x = \frac{-2}{-26}

x = – \frac{1}{13}

Esercizio n° 14

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2(x - 1)( x ^{2}+ x + 1)}{5} = 3 – 2x + \frac{(x ^{2}- x + 1)(x + 1)}{3} + \frac{x ^{3}-11}{15}

15 ·\frac{6(x - 1)( x ^{2}+ x + 1)}{15}  = \frac{45 - 30x+ 5(x ^{2}- x + 1)(x + 1)+x ^{3}-11 }{15} 
 · 15      (x-1)(x²+x+1) = x³-1

6(x³-1) = 45 – 30 x + 5(x³ + 1) + x³ – 11                                                   (x+1)(x²-x+1) = x³+1

6x³-6 = 45 – 30 x + 5x³ + 5+ x³ – 11

6x³+ 30 x – 5x³ – x³ = 45 + 5 – 11 + 6

30x = 45  ⇒  \frac{30}{{30}}x = \frac{45}{{30}}  semplificando

x = \frac{3}{{2}}

Esercizio n° 15

Svolgi la seguente equazione.

\frac{3x + 2}{5} + \frac{1}{2}x – \frac{1}{5}[ x + 2 – \frac{1}{2}(x – \frac{2}{3})]  = \frac{3x + 1}{10} + \frac{2}{3}x

\frac{3x + 2}{5} + \frac{1}{2}x – \frac{1}{5}[ x + 2 – \frac{1}{2}x + \frac{1}{{3}}]  = \frac{3x + 1}{10} + \frac{2}{3}x

\frac{3x + 2}{5} + \frac{1}{2}x – \frac{1}{5} x  – \frac{2}{5} + \frac{1}{10}x – \frac{1}{15} = \frac{3x + 1}{10} + \frac{2}{3}x

30 ·\frac{18x+12 +15x-6x-12+3x - 2}{30} = \frac{9x + 3+20x}{30} · 30

18x + 15x – 6x + 3x – 9x – 20x = 3 – 12 + 12 + 2

x = 5

Esercizio n° 16

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1 + x ^{2}}{5}  – \frac{1}{4} x – \frac{1}{20} = \frac{(x - 1) ^{2}}{5} + \frac{3}{2} – 1

20 · \frac{4(1 + x ^{2})-5x-1}{20}
 =  \frac{4(x - 1) ^{2}+30-20}{20}
 · 20

4 + 4x² — 5x – 1 = 4 (x² – 2x + 1) +10

4 + 4x² – 5x – 1 = 4x² -8x + 4 + 10

-5x + 8x = 4 + 10 – 4 + 1

3x = 11 ⇒   \frac{3}{3}x = \frac{11}{3}

x =  \frac{11}{3}

Esercizio n° 17

Svolgi la seguente equazione.

\frac{x}{10} + \frac{(2 - 3x) ^{2}}{30} + \frac{x}{10}(1 – x) + \frac{2}{15}(1 + 5x) = \frac{x}{5} (3 + x) – \frac{x - 2}{6}

\frac{x}{10} + \frac{4 - 12x +9x ^{2}}{30} +  \frac{x}{10} – \frac{x ^{2}}{10} + \frac{2}{15} + \frac{2}{3}x = \frac{3}{5}x + \frac{x ^{2}}{5}  – \frac{x - 2}{6}

30 ·\frac{3x+4-12x +9 x ^{2}+3x -3x ^{2} +4 + 20x}{30}  = \frac{18x+6 x ^{2}-5(x-2)}{30}  · 30

3x +4 – 12x +9x² +3x – 3x² + 4 + 20x = 18x + 6x² -5x + 10

3x – 12x + 9x² + 3x – 3x² + 20x -6x² -18x +5x = + 10 – 4 – 4

x = 2

Esercizio n° 18

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2}[- \frac{x - 1}{3} ( \frac{1}{2} – 2) + \frac{1 - 2x}{6}] : 3 = 2 (\frac{1}{6} – \frac{x}{3}) + \frac{1}{6}(5x – \frac{1}{6}) + x – \frac{41}{36}x

\frac{1}{2}[-\frac{x - 1}{6}  + \frac{2(x - 1)}{3}  + \frac{1 - 2x}{6}] : 3 = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

\frac{1}{2}[-\frac{x - 1}{6}  + \frac{2x - 2}{3}  \frac{1 - 2x}{6}] : 3 = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

(-\frac{x - 1}{12}   + \frac{2x - 2}{6}   + \frac{1 - 2x}{12} ) · \frac{1}{3} = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

(\frac{-x +1+4x+4+1-2x}{12} ) · \frac{1}{3} = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

(\frac{x + 6}{12} )· \frac{1}{3} = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

\frac{x + 6}{36}  = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

36 · \frac{x + 6}{36}   = \frac{12 - 24x+30x - 1+36x - 41x}{36}  · 36

x + 6 = 12 – 24x + 30x – 1 +36x – 41x

x +24x -30x – 36x + 41x = 12 – 1 – 6

0 = 5  impossibile

Esercizio n° 19

Svolgi la seguente equazione.

(x – \frac{1}{4})² – (2x + \frac{1}{3}) (2x – \frac{1}{3}) + 5x ( x – \frac{1}{4}) – \frac{1}{144} = ( x + \frac{1}{3}) (2x – \frac{5}{2}) + \frac{2}{3}

x² +2(x)(-\frac{1}{4})+\frac{1}{16} – (4x² – \frac{1}{9}) + 5x² – \frac{5}{4}x –  \frac{1}{144} = 2x² –  \frac{5}{2}x + \frac{2}{3}x– \frac{5}{6} + \frac{2}{3}

x² –\frac{1}{2}x +\frac{1}{16} – 4x² +\frac{1}{9} + 5x² – \frac{5}{4}x –  \frac{1}{144} = 2x² –  \frac{5}{2}x + \frac{2}{3}x – \frac{5}{6} + \frac{2}{3}

\frac{1}{2}x- 4+ 5x² – \frac{5}{4}x  -2x²+  \frac{5}{2}x – \frac{2}{3}x = – \frac{5}{6} + \frac{2}{3} –\frac{1}{16} –\frac{1}{9} +\frac{1}{144}

144 · \frac{-72x-180x+360x-96x }{144} = \frac{-120+96-9-16+1}{144} · 144

12x = -48   ⇒  \frac{12}{12}x = -\frac{48}{12}

x = – 4

Esercizio n° 20

Svolgi la seguente equazione.

(x –  \frac{1}{3})³ – (\frac{2}{5}x – 1)(2 – x) – x(\frac{2}{5}x + 3) = x²(x – 1) –  \frac{1}{3}(2 – x) – \frac{1}{27}

x³ +3(x)²( –  \frac{1}{3}) +3(x)( –  \frac{1}{3})² +(- \frac{1}{3})³ -(\frac{4}{5} x- \frac{2}{5}x² – 2 + x) – \frac{2}{5}x² -3x = x³ – x² – \frac{2}{3} +   \frac{1}{3}x – \frac{1}{27}

x³ -x² +  \frac{1}{3}x – \frac{1}{27} – \frac{4}{5}x + \frac{2}{5}x² +2 – x  – \frac{2}{5}x² -3x = x³ – x² – \frac{2}{3} +   \frac{1}{3}x – \frac{1}{27}

 -x² +  \frac{1}{3}x – \frac{4}{5} x + \frac{2}{5} – x  – \frac{2}{5} -3x – x³ + x²  –   \frac{1}{3}x = – \frac{2}{3} – \frac{1}{27} +  \frac{1}{27} -2

\frac{1}{3}x – \frac{4}{5} x -x -3x –   \frac{1}{3}x = – \frac{2}{3} – \frac{1}{27} +  \frac{1}{27} -2

135 · \frac{45x -108x- 135x - 405x-45x}{135} = \frac{-90-5+5 - 270}{135}· 135

-648x =- 360   ⇒   \frac{-648}{-648}x = \frac{-360}{-648}  semplificando avremo:

x = \frac{5}{9}

Esercizio n° 21

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2(x + 1) + \frac{1}{2}(x + 2)}{2} + \frac{\frac{x - 2}{3}- \frac{x}{2}}{3} = x + \frac{5}{3}

[  2(x + 1) + \frac{1}{2}(x + 2) ] : 2+  [\frac{x - 2}{3}- \frac{x}{2}]: 3 = x + \frac{5}{3}

(2x + 2 + \frac{1}{2}x + 1) · \frac{1}{2}  +[ \frac{2(x-2)-3x}{6}] ·\frac{1}{3} = x + \frac{5}{3}

(\frac{4x+4+x+2}{2}) · \frac{1}{2} + (\frac{2x-4-3x}{6}\frac{1}{3} = x + \frac{5}{3}

(\frac{5x + 6}{2})  · \frac{1}{2} +(\frac{-x-4}{6})·\frac{1}{3} = x + \frac{5}{3}

\frac{5x + 6}{4}  + \frac{-x-4}{18} = x + \frac{5}{3}

60 ·\frac{9(5x+6) + 2(-x-4)}{36} = \frac{36x + 60}{36} · 60

45x + 54 – 2x – 8 = 36x + 60

45x – 2x -36x = 60 – 54 + 8

7x = 14  ⇒  x = 2

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Per risolvere ogni equazione applica il secondo principio di equivalenza seguendo le indicazioni scritte di fianco.

  • 2x = 10     dividi per 2
  • – \frac{2}{3} x = 5    moltiplica per – 1;         moltiplica per 3;           dividi poi……
  • \frac{3}{2}x = -\frac{1}{5}   moltiplica per  \frac{2}{3}
  • (a + 1) x = 3a     dividi per a + 1 ≠ 0

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

4x – 12 = 24 x + 8

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

5(1 – x) + 10 (2 – 2x) = 15 – 20x

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

27x – 9 = 18 (x – 1) + 45x

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

6 (x + 2) – 12 (1 – x) = 18 (4 – 2x) + 24

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

12(x – 3) – 144 (x + 2) = 36 + 48x

Svolgimento

Esercizio n° 1

Per risolvere ogni equazione applica il secondo principio di equivalenza seguendo le indicazioni scritte di fianco.

  • 2x = 10     dividi per 2

\frac{2}{2}x = \frac{10}{2}   ⇒  x = 5

  • – \frac{2}{3} x = 5    moltiplica per – 1;         moltiplica per 3;           dividi poi divido per 2

\frac{2}{3} x = -5    ⇒    \frac{2}{3}x · 3  =- 5  ·3 ⇒    2x =- 15   ⇒  \frac{2}{2}x =- \frac{15}{2}  ⇒    x = – \frac{15}{2}

  • \frac{3}{2}x = -\frac{1}{5}   moltiplica per  \frac{2}{3}

\frac{3}{2}x (\frac{2}{3}     )= -\frac{1}{5}  (\frac{2}{3}     )     ⇒   x = – \frac{2}{15}

  • (a + 1) x = 3a     dividi per a + 1 ≠ 0

\frac{a+1}{a+1} x = \frac{3a}{a+1}   ⇒  x = \frac{3a}{a+1}

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

4x – 12 = 24 x + 8    applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 4

x – 3 = 6x + 2     applichiamo la regola del trasporto

x – 6x = 2 + 3 ⇒ – 5x = 5       applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 5

-x = 1   ⇒ x = – 1

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

5(1 – x) + 10 (2 – 2x) = 15 – 20x

5 – 5x + 20 – 20x = 15 – 20x       applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 5

1 – x + 4 – 4x = 3 – 4x     sommiamo i termini simili

-5x +5 = 3 – 4x      applichiamo la regola del trasporto

-5x + 4x = 3 – 5  ⇒  -x = – 2  ⇒   x = 2

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

27x – 9 = 18 (x – 1) + 45x

27x – 9 = 18x – 18 + 45x    applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 9

3x – 1 = 2x – 2 + 5x    applichiamo la regola del trasporto

3x – 2x – 5x = -2 + 1  ⇒  -4x = -1    applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per – 4

x = \frac{1}{4}

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

6 (x + 2) – 12 (1 – x) = 18 (4 – 2x) + 24

6x + 12 – 12 + 12x = 72 – 36x + 24   applichiamo il secondo principio dividendo tutti i membri per 6

x + 2 – 2 + 2x = 12 – 6x + 4   sommiamo i termini simili

3x = -6x + 16         applichiamo la regola del trasporto

3x + 6x = 16  ⇒  9x = 16   applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 9

x = \frac{16}{9}

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

12(x – 3) – 144 (x + 2) = 36 + 48x

12x – 36 – 144x – 288 = 36 + 48x  applichiamo il secondo principio e dividiamo entrambe i membri per 12

x – 3 – 12x – 24 = 3 + 4x   sommiamo i termini simili

-11x – 27 = 4x + 3   applichiamo la regola del trasporto

-11x -4x = 3 + 27  ⇒  -15x = 30   applichiamo il secondo principio e dividiamo entrambe i membri per – 13

x = – \frac{30}{15}

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

6 – 8x = 3 – 9x                         aggiungi 9x ;             sottrai 6;

Esercizio n° 2

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

2x – 3x + 1 + 8x = 2x + 5 + 4x – 3                  sottrai 6x ;                sottrai 1;

Esercizio n° 3

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

-8x + 6 + 5x – 1 = 3 -14x – 7 + 10x                aggiungi 4x;             sottrai 5;

Esercizio n° 4

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 = \frac{3}{2} -\frac{1}{3}x                aggiungi \frac{1}{3}x;                   aggiungi  \frac{1}{2}

Esercizio n° 5

Risolvere la seconda equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

(4x – 1)² – x(1 – 2x) = 2x [5x – (5 – 4x)]

Esercizio n° 6

Risolvere la seconda equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

3(2x + 3) = 2(4 + 3x) – (x – 1)

Esercizio n° 7

Risolvere la seconda equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

(x-2)(x – 3) – 3(x + 2) = x (x-3) – 6(x – 2)

Esercizio n° 8

Risolvere la seconda equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

5 – x [ 4 – (1 – x) 5] = 5(1 – x)(x + 1)

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

a(x + 1) – (3 – x) – ab² = b + (4ax – 1) + a(1 – b)(1 + b) – 3(ax + 1)

Esercizio n° 10

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

2(2x – a) – (a – 3x) = 6(x – a) – a

Esercizio n° 11

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

5a (x + 2) + 3(x + a) = 4(x + 3a) – 5(1 – ax)

Esercizio n° 12

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

x² (x + 3) + ax (1 – 5x) + 8a² = (x – 5a)(x² + a) + x (3x – 1)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

6 – 8x = 3 – 9x                         aggiungi 9x ;             sottrai 6;

aggiungi 9x

6 – 8x + 9x = 3 – 9x + 9x ⇒    6 + x = 3

sottrai 6

6 – 6 + x = 3 – 6   ⇒  x = – 3

Esercizio n° 2

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

2x – 3x + 1 + 8x = 2x + 5 + 4x – 3                  sottrai 6x ;                sottrai 1;

sottrai 6x

2x – 3x + 1 + 8x – 6x = 2x + 5 + 4x – 3 – 6x  ⇒  x + 1 = +2

sottrai 1

x + 1 – 1 = 2 – 1 ⇒      x = 1

Esercizio n° 3

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

-8x + 6 + 5x – 1 = 3 -14x – 7 + 10x                aggiungi 4x;             sottrai 5;

aggiungi 4x

-8x + 6 + 5x – 1 + 4x = 3 – 14x – 7 + 10x + 4x    ⇒  x + 5 =  -4

sottrai 5

x + 5 – 5 = -4 + 5    ⇒  x = 1

Esercizio n° 4

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 = \frac{3}{2} -\frac{1}{3}x                aggiungi \frac{1}{3}x;                   aggiungi  \frac{1}{2}

aggiungi \frac{1}{3}x

\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 +   \frac{1}{3}x  = \frac{3}{2} -\frac{1}{3}x +  \frac{1}{3}x     ⇒   \frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 +   \frac{1}{3}x  = \frac{3}{2}

aggiungi  \frac{1}{2}

\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 +   \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} +\frac{1}{2}     ⇒  \frac{3 + 4x - 6 + 2x + 3}{6} =\frac{9 + 3}{6}  il denominatore può andar via quindi otteniamo:

3 + 4x – 6 + 2x + 3 = 9 + 3 ⇒      6x = 12   ⇒   x = \frac{12}{6} = 2

Esercizio n° 5

Risolvere la seguente equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

(4x – 1)² – x(1 – 2x) = 2x [5x – (5 – 4x)]

16x² – 8x + 1 – x + 2x² = 2x (5x – 5 + 4x)

16x² – 8x + 1 – x + 2x² =10x² – 10x + 8x²    sommiamo i termini simili

18x² -9x + 1 = 18x² – 10x     applichiamo la regola della cancellazione

-9x + 1 = – 10x     applichiamo la regola del trasporto

-9x + 10 = – 1

x = – 1

Esercizio n° 6

Risolvere la seguente equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

3(2x + 3) = 2(4 + 3x) – (x – 1)

6x + 9 = 8 + 6x – x + 1   sommiamo i termini simili

6x + 9 = 5x + 9     applichiamo la regola della cancellazione

6x = 5x   applichiamo la regola del trasporto

6x – 5x = 0  ⇒   x = 0

Esercizio n° 7

Risolvere la seguente equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

(x-2)(x – 3) – 3(x + 2) = x (x-3) – 6(x – 2)

x² – 3x – 2x + 6 – 3x – 6 = x² – 3x – 6x + 12   sommiamo i termini simili

x²  -8x =x²  – 9x + 12   applichiamo la regola della cancellazione

-8x = -9x + 12    applichiamo la regola del trasporto

-8x + 9x = 12   ⇒ x = 12

Esercizio n° 8

Risolvere la seguente equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

5 – x [ 4 – (1 – x) 5] = 5(1 – x)(x + 1)                            (1 – x)(x + 1) → differenza di quadrati 1 – x²

5 – x [ 4 – (5 – 5x) ]= 5(1 – x²)

5 – x(4 – 5 + 5x) = 5 – 5x²

5 -4x +5x -5x² = 5 – 5x²   sommiamo i termini simili

5 + x – 5x² = 5 – 5x²     applichiamo la regola della cancellazione

5 + x = 5            applichiamo la regola della cancellazione

x = 0

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

a(x + 1) – (3 – x) – ab² = b + (4ax – 1) + a(1 – b)(1 + b) – 3(ax + 1)

ax + a -3 + x – ab² = b + 4ax – 1 + a(1 – b²) – 3ax – 3

ax + a -3 + x – ab² = b + 4ax – 1 + a – ab² – 3ax – 3   sommiamo i termini simili

ax + a -3 + x – ab² = b +ax + a – ab² – 4      applichiamo la regola della cancellazione

-3 + x =b -4   applichiamo la regola del trasporto

x = b – 4 + 3 ⇒  x = b – 1

Esercizio n° 10

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

2(2x – a) – (a – 3x) = 6(x – a) – a

4x – 2a – a + 3x = 6x – 6a – a  sommiamo i termini simili

7x – 3a = 6x – 7a   applichiamo la regola del trasporto

7x – 6x = -7a + 3a

x = -4a

Esercizio n° 11

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

5a (x + 2) + 3(x + a) = 4(x + 3a) – 5(1 – ax)

5ax + 10a + 3x + 3a = 4x + 12a – 5 + 5ax  sommiamo i termini simili

5ax + 13a + 3x = 4x + 12a – 5 + 5ax  applichiamo la regola della cancellazione

13a + 3x = 4x + 12a – 5    applichiamo la regola del trasporto

3x – 4x = 12a – 5 – 13a

-x = -a – 5   ⇒  x = a + 5

Esercizio n° 12

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

x² (x + 3) + ax (1 – 5x) + 8a² = (x – 5a)(x² + a) + x (3x – 1)

+ 3x² + ax – 5ax² + 8a² = x³+ ax – 5ax² – 5a² + 3x² – x   applichiamo la regola della cancellazione

8a²  = -5a² – x    applichiamo la regola del trasporto

x = -5a² -8a²   ⇒  x = – 13 a²

 

Equazioni e problemi

Ci sono alcuni problemi che è possibile risolvere con le equazioni. Bisogna tradurre il testo del problema in una uguaglianza in cui ci sia l’incognita.

La scelta dell’incognita dipende dal problema.

Consideriamo per esempio il seguente problema:

Trovare il numero tale che il suo triplo sia uguale alla sua metà aumentata di 20.

Scegliamo come x il numero richiesto, quindi a questo punto si deve solo tradurre il problema in equazione.

Avremo che 3 · x  = \frac{x}{2} + 20, a questo punto si deve solo risolvere l’equazione.

Facciamo il m.c.m. e otteniamo 6x = x + 40⇒ 5x = 40 ⇒  x = 8

Il numero 8 soddisfa la condizione posta, infatti, il suo triplo è 24 e la somma della sua metà, 4, con 20 è ancora 24.

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Vedi gli esercizi

Equazioni e disequazioni e valore assoluto

Il valore assoluto, chiamato anche modulo, di un numero è il numero considerato senza segno, per esempio |+5| = 5, |-8| = 8.

Ovviamente, se invece del valore assoluto di un numero consideriamo quello di un’espressione con variabili il discorso cambia perchè i valori di x possono essere positivi, negativi o nulli.

Se x ≥ 0    vorrà dire che |x|= x

Se x = +5     allora |x| = |+5| = 5

Se x= 0       |x|=|0| = 0

Se x < 0, dobbiamo scrivere |x|= -x

Se x = -9   allora |x| =|-7| = – (-7) = 7

In definitiva il valore assoluto di una variabile è uguale alla variabile stessa, se essa è positiva o nulla; è uguale all’opposto della variabile se essa è negativa.

Calcoliamo per esempio |x-3|.

Consideriamo i vari casi:

Se x-3≥0 quindi x ≥3 allora |x-3| = x – 3

Se x – 1 < 0 quindi x <1 allora il valore assoluto è l’opposto dell’espressione e cioè |x-3|= -(x-3)= -x + 3.

Per risolvere un’equazione che contiene il valore assoluto della variabile, si deve eliminare il valore assoluto, considerando il segno dell’espressione in esso contenuta.

Per esempio:

|4x – 8 | – 3 = 2x – 9

Studiamo prima di tutto il segno all’interno del valore assoluto:

4x – 8 ≥ 0 ⇔ x ≥2  ma se x <2 avremo |4x – 8 |=-(4x – 8) = -4x + 8

Per calcolare i risultati di questa equazione si svolgono due sistemi e cioè con  x<2 e x ≥2

valore-assoluto

\frac{7}{3} non è accettabile perchè non è minore di 2.

1 non è accettabile perchè non è maggiore di 1.

L’equazione data è impossibile.

Per risolvere una disequazione dove compare il valore assoluto dell’incognita vediamo come si procede.

Per esempio:

|x – 2|< 3x + 6

Anche in questo caso si studia prima il segno all’interno del modulo:

x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2

Se x≥ 2     |x – 2| = x – 2

Se x <2    |x – 2| = – (x-2)= -x + 2

Anche in questo caso la soluzione della disequazione si otterrà dai due sistemi.

valore-assoluto-2

grafico

 

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Equazioni fratte

Un’equazione è fratta se contiene l’incognita in almeno un denominatore. Un’equazione fratta è numerica se tutti i coefficienti sono numeri, invece è letterale se almeno un coefficiente contiene una o più lettere.

\frac{3}{x-2} = 6  e    \frac{3}{x} + 2 = \frac{12}{x-3}  sono equazioni numeriche fratte

\frac{a}{x}+ 1= \frac{1}{a}+ 2x  e    \frac{3}{x-2} +7a= 2a – 5 sono equazioni letterali fratte

La risoluzione di questo tipo di equazioni avviene come le altre equazioni ma ponendo la condizione di esistenza.

Per esempio risolviamo un’equazione numerica fratta:

\frac{x}{x-1}= \frac{1}{x-1

C.E.    x-1≠0, cioè x≠1

Per risolverla moltiplichiamo entrambe i membri per x – 1 e otteniamo x = 1

A questo punto bisogna controllare se la soluzione è compatibile con la condizione d’esistenza. Visto che la soluzione x = 1 è incompatibile con x≠1 , allora l’equazione è impossibile.

Risolviamo un’equazione letterale fratta:

\frac{a+x}{x+2} + \frac{x - 2a}{x-3}  = \frac{2a}{3x + 6} – \frac{2x}{3-x} + \frac{15}{(x-3)(x+2)}

Poniamo la C.E.

x+2 ≠0 ⇒ x ≠-2

x-3 ≠0 ⇒ x ≠ 3

Dopo aver portare tutte le frazioni a denominatore comune otteniamo:

\frac{3(a+x)(x-3)+ 3(x-2a)(x+2)}{3(x-3)(x+2)}= \frac{2a(x-3)+ 6x(x+2)+ 45}{3(x-3)(x+2)}

Moltiplichiamo entrambe i membri dell’equazione per il denominatore comune, in modo da ottenere un’equazione intera.

3(a+x)(x-3) +3(x-2a)(x+2) = 2a(x-3)+6x(x+2) + 45

3ax + 3x² -9a -9x +3x² -6ax +6x – 12a =2ax -6a +6x² +12x + 45

-5ax – 15x = 45 + 15a

-5x(a + 3) = 15(a + 3)            per a+3 ≠0  ⇒ a ≠-3

x =\frac{15(a+3)}{-5(a+3)} =- \frac{15}{5} = -3

Vediamo se la soluzione è valida, quindi se la soluzione è diversa da -2 e 3 ottenuti nella C.E. A questo punto vediamo che la soluzione è uguale ad a≠ – 3, ciò vuol dire che l’equazione -5x(a + 3) = 15(a + 3)    si riduce a 0·x = 0 e quindi l’equazione è indeterminata.

Consideriamo un altro esempio:

1 + \frac{a +x}{x-2}= \frac{9a + 4}{x - 2}

C.E.   x – 2 ≠0 ⇒ x ≠ 2

Dopo aver portare tutte le frazioni a denominatore comune otteniamo:

\frac{x - 2 + a + x}{x-2}= \frac{9a + 4}{x - 2}

Moltiplichiamo entrambe i membri dell’equazione per il denominatore comune, in modo da ottenere un’equazione intera.

(x – 2)\frac{x - 2 + a + x}{x-2}= \frac{9a + 4}{x - 2}(x-2)

x- 2 + a + x = 9a + 4

2x = 9a + 4 + 2 – a ⇒ 2x = 8a + 6

x = 4a + 3

Questa soluzione è accettabile solo se risulta verificata la condizione di esistenza della frazione.

Quindi x ≠ 2 diventa:

4a + 3 ≠ 2      4a  ≠-3 + 2

4a  ≠ -1         a  ≠ -\frac{1}{4}

A questo punto se a =-\frac{1}{4} , si ha x = 4 (-\frac{1}{4}) + 3 = 2. In questo caso la condizione per l’esistenza delle frazioni non è verificata e l’equazione è impossibile.

Se a ≠ -\frac{1}{4}, l’equazione è determinata e la soluzione è x = 4a + 3

Se a = -\frac{1}{4}, l’equazione è impossibile

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Equazioni letterali intere

Le equazioni letterali intere presentano una o più lettere oltre all’incognita che non è mai presente al denominatore.

Per risolvere questo tipo di equazioni bisogna discutere per quali valori delle lettere presenti l’equazione è determinata, indeterminata o impossibile.

Consideriamo l’equazione nell’incognita x:

ax – 3a = 2x portiamo al primo membro i termini con l’incognita e al secondo gli altri:

ax – 2x = 3a raccogliamo x

(a-2)x = 3a prima di dividere entrambe i membri per a-e dobbiamo porre la condizione a-2≠0 quindi a≠2.

Dopo la discussione possiamo proseguire e quindi avremo:

x = \frac{3a}{a-2} da qui capiamo che la soluzione dell’equazione è in funzione di a, quindi, se a =5 ⇒ x = 5 e quindi x assumerà valori diversi a seconda del valore che assumerà la a. Solo se a = 2 l’equazione è impossibile quindi per questo è importante la condizione d’esistenza e cioè a-2≠0

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Equazioni numeriche intere

L’equazioni di primo grado hanno come grado dell’equazione uno. Esse si dicono anche equazioni lineari.

Anche un’equazione del genere sarà di primo grado. Per esempio 10 + 4 + x² – 4x + 2x = x² + 5x. Infatti trasportando tutti i termini con l’incognita al primo membro e i termini noti al secondo si ottiene:

x² – 4x + 2x – x² – 5x = – 10 – 4   riducendo i termini simili si ottiene

-7x = – 14 ⇒ 7x = 12 quindi  è un’equazione di primo grado

Quando si svolge un’equazione di primo grado il nostro scopo è quello di giungere  all’equazione equivalente ax = b con a≠0 . Quindi per risolvere tale equazione basta dividere entrambe i membri per a quindi x = \frac{b}{a}.

A seconda dei valori assunti da a e b l’equazione può essere determinata, indeterminata e impossibile.

Se l’equazione di  1° grado ax = b, con a ≠0 ammette l’unica soluzione  \frac{b}{a}  l’equazione è determinata.

Consideriamo ad esempio l’equazione :

4x – 9 + (x-1)(x + 1) = (x-3)² + 2x + 5

4x – 9 + x² – 1 = x² – 6x + 9 + 2x + 5   le x² si possono semplificare e otteniamo

4x – 9 -1 = -6x +9 + 2x + 5 ⇒ 4x – 10 = -4x + 14  trasportiamo al primo membro i termini con l’incognita e nel secondo i termini noti

4x + 4x = 14 + 10 ⇒ 8x = + 24

\frac{8x}{8}= \frac{24}{8}  ⇒ x = 3

Nel caso in cui a=0 e b = 0 , abbiamo 0x =0 quindi l’equazione è indeterminata perchè sostituendo qualsiasi valore alla x l’uguaglianza è sempre verificata.

Per esempio:

4x – 12 – 3x = 5 + x – 17 trasportiamo al primo membro i termini con l’incognita e al secondo quelli senza.

4x – 3x – x = 5 – 17 + 12 ⇒ 0x = 0  l’equazione è indeterminata

Nel caso in cui a=0 e b≠0 abbiamo 0x = b. Questa equazione non ha soluzioni , poichè non esiste un numero che moltiplicato per zero dia un numero diverso da zero.. Non avendo soluzioni l’equazione si dice impossibile.

Per esempio:

2 (x-1) – 2x = 0 ⇒ 2x – 2 -2x = 0  trasportiamo al primo membro i termini con l’incognita e al secondo quelli senza.

2x – 2x = + 2 ⇒ 0 = 2 quindi è impossibile

Dopo aver trovato la soluzione ,detta anche radice, di un’equazione sarebbe opportuno fare la verifica che consiste nel sostituire al posto della x la soluzione trovata e si svolgono tutte le operazioni. Se la radice era esatta allora il valore che acquista il primo membro deve essere uguale a quello del secondo.

Per esempio:

 \frac{5(x-1)}{2}- \frac{2x-3}{12}-1=\frac{x-13}{6} liberando l’equazione dal denominatore si ottiene

30(x-1) – (2x -3) – 12 = 2x – 26 ⇒ 30x – 30 -2x + 3 – 12 = 2x – 26

26x = 13 ⇒ x =  \frac{1}{2} l’equazione è determinata

Verifica: sostituiamo alla x la radice trovata e cioè  \frac{1}{2}.

5(\frac{ \frac{1}{2}-1}{2})– \frac{1-3}{12} – 1 = \frac{\frac{1}{2}-13}{6}

5 (-\frac{1}{2}\frac{1}{2} -(- \frac{2}{12}) – 1=- \frac{\frac{25}{2}}{6}

-\frac{5}{4} + \frac{1}{6} – 1 = –\frac{25}{2} · \frac{1}{6}

\frac{-15 + 2 - 12}{12} = -\frac{25}{12}

-\frac{25}{12} = -\frac{25}{12}  i risultati sono uguali, quindi la radice trovata è esatta.

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Secondo principio di equivalenza

Moltiplicando o dividendo ambedue i membri di un’equazione per uno stesso numero o una stessa espressione, diversi da zero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Consideriamo l’equazione 5x = 10, la soluzione è x = 2

Moltiplichiamo prima entrambi i membri con un numero che sia diverso da zero, per esempio 3 e otteniamo:

3 · 5x = 3 · 10  ⇒ 15x = 30 , dividendo entrambe i membri per 15 otteniamo \frac{15x}{15}= \frac{30}{15} ⇒ x = 2.

L’equazione ottenuta e quella di partenza sono equivalenti.

Adesso consideriamo l’equazione 2 = \frac{4}{x - 1}, la cui soluzione è x = 3.

Moltiplichiamo ora entrambi i membri per l’espressione x – 1, ponendo la condizione x – 1≠ 0. Otteniamo l’equazione 2 (x-1) = \frac{4}{x - 1} (x-1) cioè 2x – 2 = 4  la cui soluzione è x = 3, quindi l’equazione ottenuta è equivalente all’equazione data.

Dal secondo principio è possibile ricavare due regole:

  • se tutti i  membri di un’equazione hanno un fattore numerico comune, diverso da zero, allora dividendo tutti i membri per quel fattore si ottiene un’equazione equivalente. Per esempio 9x + 12 = 3x – 15, sono tutti divisibili per tre quindi otteniamo 3x + 4 = x – 5 equivalente all’equazione data.
  • Cambiando i segni a tutti i termini di un’equazione se ne ottiene un’altra equivalente a quella data. Infatti, ciò equivale a moltiplicare entrambe i membri per (-1) . Per esempio consideriamo l’equazione -5x + 8 = -23 e moltiplichiamo entrambe i membri per -1 quindi dobbiamo cambiare il segno a tutto e otteniamo 5x – 8 = + 23, entrambe le equazioni daranno come risultato x = – 5 quindi sono equivalenti.

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