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Tag Archives: EQUAZIONI

Equazioni equivalenti

Equazioni equivalenti

Due equazioni, contenenti le medesime incognite, si dicono equivalenti quando tutte le soluzioni della prima sono anche soluzioni della seconda e tutte quelle della seconda lo sono anche della prima.

Quindi per affermare che due equazioni sono equivalenti non basta che tutte le soluzioni siano anche soluzioni della seconda, ma bisogna che si verifichi anche l’inverso.

Esempio:

x² – 4 =0        e      (2x – 1)(2x +1)= 3(x² + 1)  le soluzioni di entrambe sono x=+2 e x=-2 quindi sono equivalenti.

Consideriamo ora:

x² – 4 =0    e    x +4 = 2; la prima avrà come soluzioni x=+2 e x=-2 mentre la seconda equazione solo x=-2 quindi non sono equivalenti perchè x=2 non è soluzione di entrambe.

L’equivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nell’insieme delle equazioni, perchè gode della proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.

Proprietà riflessiva: ogni equazione è equivalente a se stessa.

Proprietà simmetrica: se 3x – 6 = 0 è equivalente a x-2=0, anche x-2 =0 è equivalente a 3x – 6=0

Proprietà transitiva: se 2x – 4=0 è equivalente a x-2=0 e x-2=0 è equivalente a x=2, allora 2x – 4=0 è equivalente a x=2

Soluzioni di un’equazione

Soluzioni di un’equazione

I valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni o radici dell’equazione. Si può anche dire che tali valori verificano (o soddisfano) l’equazione.

L’equazione :

x – 9 = 1    ha come soluzione x=10.

Quindi risolvere un’equazione significa determinare tutte le sue soluzioni , cioè tutti i valori che verificano l’uguaglianza. Tali valori costituiscono l’insieme delle soluzioni dell’equazione.

Per esempio:

x²= 4  avrà due soluzioni   x=2  e x = -2 .Infatti (2)²= 4 ma anche (-2)²= 4.

Si possono verificare varie situazioni:

  • può capitare che un’equazione non ammetta soluzioni, cioè non esista alcun valore delle incognite che la trasformi in una identità: si dice allora che l’equazione è impossibile. Per esempio sono impossibili le equazioni

5x +3 = 5x + 7  perchè la x va via e  x²= – 4 perchè non vi è alxun numero il cui quadrato sia un numero negativo.

  • Può darsi che un’equazione ammetta un numero illimitato di soluzioni; essa si dice indeterminata. Per esempio l’equazione

3x + 2 =3(x – 2) + 8  ⇒ 3x + 2 = 3x – 6 + 8  il risultato è 0=0 quindi è indeterminata perchè è verificata da tutti gli infiniti valori che si possono attribuire alla x.

  • Infine un’equazione, la quale ammette un numero limitato di radici si dice determinata. Per esempio l’equazione

5x – 6= 3x – 2  ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 quindi questa è l’unica soluzione ammessa dall’equazione. Anche

x² = 16  ⇒ x= 4 e x=-4  quindi è determinata ed ammette due soluzioni.

 

Le equazioni

Consideriamo la seguente eguaglianza:

3x – 4 = x + 6;

è facile constatare che, se si attribuisce alla lettera x un valore numerico a caso, l’uguaglianza non viene verificata.

Per esempio per x= 3        3x – 4 = x + 6 ⇒   3(3) – 4 = 3 + 6⇒     5 = 9  quindi non è un’identità.

Se invece consideriamo x= 5      3x – 4 = x + 6 ⇒  3(5) – 4 = 5 + 6 ⇒    11= 11  in questo caso è un’identità.

Quindi:

Le uguaglianze fra due espressioni letterali che sono verificate solo per particolari valori di alcune lettere si dicono equazioni.

Per esempio l’uguaglianza 2x + 1 = 7 è un’equazione. Essa risulta verificata solo per x= 3.

Lo studio delle equazioni serve appunto a determinare i valori particolari che attribuiti alle lettere trasformano le uguaglianze in identità. A tali lettere si dà il nome di incognite e i valori che la rendono un’identità si chiamano soluzioni o radici dell’equazioni.

Le lettere che compaiono in un’equazione  sono dette incognite e per esempio:

2+ 7= + 4        è un’equazione ad un’ incognita

2y= +14         è un’equazione a due incognite

3x + 2z=44     è un’equazione a tre incognite

I numeri che moltiplicano l’incognita sono detti coefficienti.

I termini che non contengono l’incognita sono detti termini noti.

I valori che, assegnati all’incognita, rendono vera l’uguaglianza si dicono soluzioni o radici dell’equazione.

IL GRADO di un’equazione è il massimo grado dei suoi termini così:

x – 3=2x – 5                 è di primo grado

x² – 3x + 4 = 3x² – 5  è di secondo grado

4x³ + 5x² = x + 12      è di terzo grado

Un’equazione si dice:

  • intera se non appare l’incognita al denominatore \frac{1}{2}x ^{2}+x-1=\frac{3}{4}.
  • frazionaria, quando l’incognita compare al denominatore \frac{7}{x+1}+x=6
  • numerica se oltre all’incognita non compaiono altre lettere \frac{7}{8}x ^{2}+x=\frac{5}{2}
  • letterale se compaiono anche delle lettere 2ax³+5ab=abx+12b
  • determinata quando ammette soluzioni
  • impossibile quando non ammette soluzioni quindi non c’è alcun numero che attribuito alla x verifichi l’equazione 3(x-2)=3x+1
  • indeterminata quando è verificata da qualsiasi valore che si attribuisce all’incognita; cioè quando è un’identità 5x-2=3(x-1)+2x+1

Equazioni equivalenti

Le identità

Un’identità è un’uguaglianza fra due espressioni letterali verificata per qualunque valore attribuito alle lettere contenute nelle espressioni.

Se noi consideriamo espressioni tipo:

a(b+c) = ab + ac;       (a-b)(a+b) = a²-b²;       (a-b)²= a² – 2ab + b²

vediamo che sono formate da due espressioni che forniscono lo stesso risultato qualunque sia il valore sostituito alle lettere.

Per esempio sostituiamo dei valori qualsiasi alla parte letterale delle espressioni di sopra come a=2; b=1 e c= 3

a(b+c) = ab + ac  ⇒  2(1+3)=2(1) + 2(3) ⇒  8 = 8

(a-b)(a+b) = a²-b² ⇒ (2 -1)(2+1) = 2² – 1¹  3 = 3

(a-b)²= a² – 2ab + b²  ⇒ (2-1)²= 2² – 2(2)(1) + (1)²   ⇒ 1 = 1

Sostituendo altri numeri si arriverà sempre ad ottenere un’identità.

Ciascuna delle due espressioni che costituiscono l’uguaglianza viene detta membro dell’identità. In particolare l’espressione da sinistra è detta primo membro, quella di destra secondo membro.

Un ‘identità la si può individuare facilmente anche senza sostituire la parte letterale riconoscendo che l’espressione scritta al primo membro la si può trasformare in quella del secondo membro con l’applicazione delle operazioni algebriche e delle loro proprietà.

LE CONDIZIONI DI ESISTENZA DI UN’ IDENTITA’

Se, per alcuni valori dati alle lettere, uno o entrambe i valori dell’identità non hanno significato, anche l’identità non ha significato.

Per esempio la frazione algebrica:

\frac{ab}{a} ha significato solo se a≠0 in quanto una frazione  non può avere il denominatore nullo. Quindi tale frazione è un’identità solo se a≠0, ossia C.E. : a≠0

Quindi la C.E. applicata a frazioni alberiche tiene conto del fatto che il denominatore deve sempre essere diverso da zero.

Esercizi sulle equazioni di 2° grado

Esercizi sulle equazioni di 2° grado

Esercizio n° 1

Risolvi le equazioni di 2° grado pure.

a) 2x² – 8 = 0

Si trasporta il termine noto al secondo membro:

2x² = 8

si divide per il coefficiente di x²:

x²=  \frac{8}{2} = 4

4 > 0, l’equazione ammette due soluzioni opposte:

x = ± \sqrt{4} = ± 2

b) – 4 – 5x² = 3x² – 11

Si trasportano i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo:

– 5x² – 3x² = – 11 + 4

-8x² = – 7

8x² =  7

x² = \frac{7}{8}

essendo \frac{7}{8} > 0 ci sono due soluzioni opposte x = ± \sqrt{\frac{7}{8}}

c) (2x + 2)² + 7x – 3(x + 1) = 12x + 5

4x² + 8x + 4 + 7x – 3x – 3 = 12x + 5

4x² + (8 + 7 – 3 – 12) x =  +5 – 4 + 3

4x²  = +4

x² = \frac{4}{4} = 1

x = ± \sqrt{1} = ± 1

d) \frac{3x ^{2} - 40}{4} – \frac{4 - x ^{2} }{2} – 12 = \frac{(x -1)(x + 1) }{4} + \frac{5}{4}

\frac{3x ^{2} - 40}{4} – \frac{4 - x ^{2} }{2} – 12 = \frac{x ^{2} - 1}{4}   + \frac{5}{4}           m.c.m (2; 4) = 4

\frac{3x ^{2} - 40}{4} – \frac{8 - 2x ^{2} }{4} –  \frac{48 }{4} = \frac{x ^{2} - 1}{4} + \frac{5}{4}         il denominatore si può eliminare

3x² – 40 – (8 – 2x²) – 48 = x² – 1 + 5

3x² – 40 – 8 + 2x² – 48 = x² – 1 + 5

3x² + 2x² -x² = – 1 + 5 + 40 + 8 + 48

(3 + 2 – 1) x² = 100

4x²= 100   ⇒  x² = \frac{100 }{4} = 25

x = ± \sqrt{25} = ± 5

Esercizi sulle soluzioni delle equazioni di primo grado

Esercizi sulle soluzioni delle equazioni di primo grado

Esercizio n° 1

Esegui la verifica di ciascuna equazione di cui è fornita la soluzione.

a) 15x – 5x + 9 = 5x + 24                     soluzione x = 3

1° membro:

15 · 3 – 5 · 9 + 9 = 45 – 15 + 9 = 39

2° membro:

5 · 3 + 24 = 15 + 24 = 39

1° membro = 2° membro

quindi x = 3 è la soluzione

b) 3x + 8 = 9 – x + 3x                     soluzione x = – 2

1° membro:

3 · (-2) + 8 = – 6 + 8 = + 2

2° membro :

9 – (-2) + 3 · (-2) = 9 + 2 – 6 = + 5

1° membro ≠ 2° membro

quindi x = – 2 non è la soluzione

Esercizio n° 2

Risolvi e discuti le equazioni

a) 2x – 5 = 3x – 4

2x – 3x = -4 + 5

-x = +1  ⇒ x = -1    La soluzione è determinata e ammette la soluzione x = – 1

b) 5 – 3x = 2(x + 3) -1

5 – 3x = 2x + 6 – 1

– 3x – 2x = + 6 – 1 – 5

-5x = 0      L’equazione è determinata e ammette la soluzione x = 0

c) – 3x + n5x = 2(x-4)

-3x + 5x = 2x – 8

-3x + 5x – 2x = -8

0x = -8

L’equazione non ha soluzioni e si dice impossibile.

d) 2 – 5x = -3 -5(x – 1)

2 – 5x = -3 – 5x + 5

-5x + 5x = -3 + 5 – 2

0x = 0          L’equazione ammette infinite soluzioni e si dice indeterminata.

e) 2 (x + 5) – 12 + 3(5 – x) = 2(x – 1) – 3(x – 5)

2x + 10 – 12 + 15 – 3x = 2x – 2 – 3x + 15

2x – 3x – 2x + 3x = -2 + 15 – 10 + 12 – 15

(2 -3 – 2) x = 0

0x = 0         L’equazione ammette infinite soluzioni e si dice indeterminata.

f)  \frac{4x + 3}{12} –  \frac{2x+1}{4} =  \frac{x - 1}{3} –  \frac{3x + 1}{6}          m.c.m (3; 4; 6; 12) = 12

 \frac{4x + 3- 6x - 3}{12} =  \frac{4x -1- 6x - 2}{12}         il 12 lo possiamo eliminare moltiplicando entrambe i membri per 12

4x + 3 – 6x – 3 = 4x – 1 – 6x – 2

0 = -3          L’equazione non ha soluzioni e si dice impossibile.

 

 

Equazioni

Equazioni

Esercizio n° 1

Risolvi le equazioni a coefficienti interi.

a) 3x – 2 + 10 = 4 – 2x + 7x

Si applica la legge del trasporto portando i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo:

3x + 2x – 7x = 4 + 2 – 10

si riducono i termini simili:

– 2x = – 4

si cambiano tutti i segni dei termini:

2x = + 4

si divide per il coefficiente della x:

x = + \frac{4}{2} = + 2

b) 2x – 5(x – 4) + 3 = 2(x – 1) + 8

Si eliminano le parentesi svolgendo i calcoli:

2x – 5x + 20 + 3 = 2x – 2 + 8                      il 2x si possono eliminare perchè si trova sia al 1° che al 2° membro

– 5x + 20 + 3 = – 2 + 8

si trasportano i termini noti al secondo membro:

– 5x = – 2 + 8 – 20 – 3

si riducono i termini simili:

– 5x = – 17

si cambia di segno:

5x = + 17

si divide per il coefficiente della x:

x = + \frac{17}{5}

c) 7 – (8x + 2) – 3(3 – 5x) = 4 + 5(2x – 1)

7 – 8x – 2 – 9 + 15x = 4 + 10x – 5

– 8x + 15x – 10x = 4 – 5 – 7 + 2 + 9

-3x = + 3

3x = – 3

x = -\frac{3}{3} = – 1

d) 3x –  [ – 2 (x – 7) + 3x + 9] = 5(2x + 5) + 1 – 4(1 – 3x)

3x –  [ – 2x + 14+ 3x + 9] = 10x +25 + 1 – 4 +12x

3x   + 2x – 14- 3x – 9 = 10x +25 + 1 – 4 +12x

3x  + 2x – 3x – 10x – 12x =  +25 + 1 – 4  + 14 + 9

– 20x = 45

20 x=  – 45

x = -\frac{45}{20} =- \frac{9}{4}

e) 4x – 2 { –    [ -6 (4 – x) + 25 – 5(2x + 3)] } = 3(3 – x) + 8 – 2(x + 4)

4x – 2 { –  [- 24 + 6x + 25 – 10x -15] } = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x – 2 {+ 24 -6x – 25 + 10x +15 } = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x – 48 +12x +50 -20x – 30 = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x + 12x  -20x +3x +2x = 9  + 8  – 8 + 48 – 50 +30

x  = 37

Esercizio n° 2

Risolvi le equazioni a coefficienti frazionari.

a) \frac{4}{5}x – \frac{2}{3} = \frac{1}{2}x + \frac{5}6}                     m.c.m (2; 3 ; 5 ; 6) = 30

equazioni

24x – 20 = 15x + 25

24x – 15x = 25 + 20

9x = 45

x = \frac{45}{9} = 5

b) \frac{2x + 1}{10} – \frac{1 - 3x}{5} + \frac{x - 1}{2} – 2 = 0                            m.c.m. (2 ; 5 ; 10) = 10

equazioni 1

2x + 1 – 2 (1 – 3x) + 5 (x – 1) – 20 = 0

2x + 1 – 2 + 6x + 5x – 5 – 20 = 0

2x + 6x + 5x = – 1 + 2 + 5 + 20

13x = 26

x = \frac{26}{13} = 2

c) \frac{2}{7} (\frac{x}{4} – \frac{1}{2}) – \frac{1}{2} (x + 3) = 3 ( \frac{1}{7} – \frac{x}{2}) – 1                          m.c.m.(2; 4; 7) = 28

equazioni 2

2 (x – 2) – 14 (x + 3) = 6 (2 – 7x ) – 28

2x – 4 – 14x – 42 = 12 – 42x – 28

2x – 14x + 42x = 12 – 28 + 4 + 42

30x = 30

x = \frac{30}{30} = 1

d) \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} (2x – \frac{1}{2}) – \frac{x}{2}  ] = 2 (\frac{x}{2} – \frac{1}{2}) + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [ \frac{1}{2} ( \frac{4x - 1}{2}) – \frac{x}{2}] = 2 ( \frac{x - 1}{2}) + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{4x - 1}{4} – \frac{x}{2}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{4x - 1-2x}{4}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{2x - 1}{4}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{2x - 1}{8} =  x – 1 + \frac{1}{8}                       m.c.m. = 8

equazioni 3

2x – 1 = 8x – 8 + 1

2x – 8x = -8 + 1 +1

– 6x = – 6

6x = + 6

x = \frac{6}{6} = 1

e) \frac{\frac{x + 1 }{3}- \frac{2(x + 1)}{9}}{\frac{1}{3}-1} = \frac{x-2}{3}

\frac{ \frac{3(x +1)-2(x + 1)}{9}}{\frac{1-3}{3}}} = \frac{x-2}{3}

\frac{ \frac{3x +3-2x -2}{9}}{-\frac{2}{3}}} = \frac{x-2}{3}

 \frac{x +1}{9} :( - \frac{2}{3} )= \frac{x-2}{3}

 

 \frac{x +1}{9} · (- \frac{3}{2}) = \frac{x-2}{3}

 \frac{x +1}{3} · (- \frac{1}{2}) = \frac{x-2}{3}

- \frac{x +1}{6} = \frac{x-2}{3}                      m.c.m.(3; 6) = 6

- \frac{x +1}{6} =  \frac{2x-4}{6}       il denominatore si può eliminare come se moltiplicassimo entrambe i membri per 6

– x – 1 = 2x – 4

– x – 2x = + 1 – 4

– 3x = – 3  ⇒  3x = 3 ⇒  x = \frac{3}{3} = +1

Esercizio n° 3

Risolvi le equazioni riducibili a equazioni di 1° grado.

a) (x – 1) (x + 1) – x(x – 2) = 3 (x + 2) + 4        Si eliminano le tonde svolgendo i calcoli

x² – 1 – x² + 2x = 3x + 6 + 4                              i termini con x² si possono eliminare:

2x – 3x = 6 + 4 + 1

– x = + 11

x = – 11

b) (2x – 1)² + 1 – 2(3 – x) = – (2x + 1) (2 – x) – 2x ( 1 – x)

4x² – 4x + 1 + 1 – 6 + 2x = – (4x – 2x² + 2 – x) – 2x + 2x²

4x² – 4x + 1 + 1 – 6 + 2x = – 4x + 2x² – 2 + x – 2x + 2x²

Si trasportano i termini con la x al primo membro e i termini noti al 2°:

4x² + 2x – 2x² – x + 2x – 2x² = -2 – 1 – 1 + 6

si riducono i termini simili:

(4 – 2 – 2)x² + (+2 -1 + 2)x = + 2

3x = + 2

x = \frac{2}{3}

 

 

 

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Data l’equazione 6x – 4 = 4x, la cui soluzione è x = 2, applica il 2° principio di equivalenza secondo quanto indicato e verifica che ottieni un’equazione equivalente.

a) Moltiplica entrambi i membri per – 3.

– 3(6x – 4) = – 3(4x)

-18x + 12 = 12x

Ponendo x = 2 si ottiene:

– 18(2) + 12 = – 12(2)

– 36 + 12 = – 24                       – 24 = – 24

L’equazione è equivalente a quella data.

b) Dividi entrambi i membri per 2.

(6x – 4) : 2 = (4x) : 2

3x – 2 = 2x

Per x = 2 si ottiene:

3(2) – 2 = 2 (2)

6 – 2 = 4                                   4 = 4

L’equazione è equivalente a quella data.

Esercizio n° 2

Per ciascuna equazione, scrivene altre due a essa equivalenti applicando il 2° principio di equivalenza.

a) 3x – 3 = 6x         moltiplico entrambi i membri per 3

3 (3x – 3) = 3 (6x)

9x – 9 = 18 x

b) 2 – 10x = 4x – 12    divido entrambi i membri per 2

(2 – 10x) : 2 = (4x – 12) : 2

1 – 5x = 2x – 6

Esercizio n° 3

Trasforma l’equazione data in un’altra equivalente con coefficienti interi.

a) \frac{5}{4}x – \frac{1}{2} = 3x + \frac{1}{3}           Si moltiplicano entrambi i membri per il m.c.m. (2; 3; 4) = 12

12 · \frac{5}{4} x – 12 · \frac{1}{2} = 12 · 3x + 12  ·\frac{1}{3}

15 x – 6 = 36 x + 4

b) \frac{1}{4}x – \frac{5}{6} =\frac{1}{2} x +  \frac{1}{3}                 Si moltiplicano entrambi i membri per il m.c.m (2; 3; 4; 6) = 12

12 · \frac{1}{4}x – 12 · \frac{5}{6} = 12 · \frac{1}{2} x  + 12 · \frac{1}{3}           Semplificando si ottiene:

3x – 10 = 6x +4

c) \frac{3}{5} x – \frac{2}{3} = 2x – \frac{1}{5}                        Si moltiplicano entrambi i membri per il m.c.m (3 ; 5 ) = 15

15 · \frac{3}{5}x – 15 · \frac{2}{3} = 15 · 2x – 15 ·\frac{1}{5}                     Semplificando si ottiene:

9x – 10 = 30x – 3

Vedi esercizi primo principio di equivalenza

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Considera l’equazione 6x + 3 = 9x, la cui soluzione è x = 1, applica il 1° principio di equivalenza secondo quanto imndicato e verifica che ottieni nun’equazione equivalente.

a) Addiziona a entrambi i membri 5

6x + 3 + 5 = 9x + 5

Ponendo x = 1 si ottiene:

6(1) + 3 + 5 = 9(1) + 5

6 + 3 + 5 =  9 + 5                   14 = 14

x = 1 è la soluzione, quindi l’equazione è equivalente a quella data.

b) Sottrai a entrambe i membri 4x.

6x + 3 – 4x = 9x – 4x

Ponendo x = 1 si ottiene:

6(1) + 3 – 4(1) = 9(1) – 4(1)

6 + 3 – 4 = 9 – 4                           5 = 5

Si è ottenuta un’equazione equivalente a quella data.

Esercizio n° 2

In ciascuna equazione, porta i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo, applicando la regola del trasporto.

a) 4x – 6  = 8 – 3x

Per la legge del trasporto è possibile trasportare un termine da un membro all’altro purchè lo si cambi di segno, quindi si ottiene:

4x + 3x = 8 + 6

7x = 14

b) 4 – 7x + 11 = 3 – 5x

Per vla legge del trasporto è possibile trasdportare un termine da un membro all’altro purchè lo si cambi di segno, quindi si ottiene:

– 7x + 5x = 3 – 4 – 11

– 2x = – 12

c) 6x – 2 + 2x = 4x – 7

6x – 4x  + 2x = – 7 + 2

4x = – 5

d) – 8x + 11 – 3x = 15 – 5x

– 8x – 3x + 5x = + 15 – 11

– 6x = + 4

e) 9 – 24x = – 3x + 12 – 11x

– 24x  + 3x + 11x = – 9 + 12

– 10x = + 3

Esercizio n° 3

Stabilisci quali termini si possono eliminare e scrivi l’equazione che si ottiene.

a)– 4x – 5 + 8x = 4x + 3 + 8x

E’  possibile eliminare termini uguali presenti in entrambi i membri; + 8x è presente in entrambi i membri , quindi l’equazione diventa:

– 4x – 5 = 4x + 3

b) – 5x – 7 + 8x = 7 – 4x – 5x

-7 + 8x = 7 – 4x

c) x – 5 + 6x – 4 = 6x + 5 – 4

x – 5 – 4 = + 5 – 4

Vedi esercizi secondo principio di equivalenza

Esercizi sulle equazioni

Esercizi sulle equazioni

Esercizio n° 1

Stabilisci quale dei due valori attribuiti alla lettera x è soluzione dell’equazione.

a) 12 – ( 8 – 2x) = 5x + 10                x = 0;     x = -2

Attribuendo alla x il valore 0, si ottiene:

1° membro             12 – ( 8 – 2· 0) = 12 – (8 – 0) = 12 – 8 = 4

2° membro            5 · 0 + 10 = 0 + 10 = 10

Le due espressioni non hanno lo stesso valore, quindi:   x = 0 non è una soluzione

Attribuendo alla x il valore – 2 si ottiene :

1° membro             12 -[ ( 8 – 2·(-2)] = 12 – (8 + 4) = 12 – 12= 0

2° membro            5 · (-2) + 10 =- 10 + 10 =0

Le due espressioni  hanno lo stesso valore, quindi:   x = -2  è una soluzione.

b) 4x – 9 = 5 – 2x             x = 2

1° membro       4 · 2 – 9 =8 – 9 = – 1

2° membro        5 – 2  · 2 = 5 – 4 = 1

Le due espressioni non hanno lo stesso valore, quindi:   x = 2 non è una soluzione.

c) 3 + x = 5 (1 – 3x)              x = 0

1° membro       3 + 0 = 3

2° membro        5 (1 – 3 · 0) = 5 (1) = 5

Le due espressioni non hanno lo stesso valore, quindi:   x = 0 non è una soluzione.

d) 3x² – 5x = 2              x = 2

1° membro       3 ( 2)² – 5 (2) =  3 · 4 – 10 = 12 – 10 = 2

2° membro      2

Le due espressioni  hanno lo stesso valore, quindi:   x = 2  è una soluzione.

Esercizio n° 2

Stabilisci il tipo di equazione.

a ) \frac{2}{3} x – 5 = \frac{5}{4} + x                 L’incognita x non è al denominatore, quindi l’equazione è intera.

b) \frac{4}{x} – 3x = 5                           L’incognita x  è al denominatore, quindi l’equazione è fratta.

Esercizio n° 3

Considera l’equazione 4x – 2 = 10, la cui soluzione è x = 3, stabilisci per ciascuna delloe seguenti equuazioni se sono a essa equivalenti.

a) 4 – x = 3x + 2

Per essere vequivalenti deve avere la stessa soluzione ; sostituendo alla x il valore x = 3 si ottiene:

4 – 3 = 3 · (3) + 2

1 = 9 + 2                         1 = 11

L’uguaglianza non è vera, quindi x = 3 non è una soluzione; pertanto le due equazioni non sono equivalenti.

b) 5x – 4 = 2x + 5

Ponendo x = 3 si ottiene:

5 (3) – 4 = 2 (3) + 5

15 – 4 = 6 + 5                        11 = 11

L’uguaglianza è vera, quindi x = 3 è soluzione; le due equazioni sono equivalenti.