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Esercizi sul calcolo della probabilità

Esercizi sul calcolo della probabilità

Esercizio n° 1

Calcola la probabilità di ciascun evento.

Data un’urna contenente 10 palline uguali, numerate da 1 a 100, calcola la probabilità:

a) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 6.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 7, 8, 9, 10, quindi sono 4.

I casi possibili sono 10, quindi:

P(E) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}     sotto forma di numero decimale si ottiene:

P(E) = 2: 5 = 0,4   e sotto forma di percentuale:

P(E) = 0,4 · 100 = 40%

b) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero maggiore di 10.

Non ci sono casi favorevoli:

P(E) = 0    l’evento è impossibile

c) di estrarre una pallina contrassegnata da un numero minore di 11.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, quindi sono 10, come i casi possibili.

P(E) = \frac{10}{10} = 1                      è un evento certo

d) di estrarre un multiplo di 3.

I casi favorevoli sono l’uscita di uno dei seguenti numeri: 3, 6, 9, quindi sono 3.

P(E) = \frac{3}{10} = 0,3 = 30%

Esercizio n° 2

Nel gioco della tombola sono già usciti i numeri 12 e 21, calcola la probabilità che nella terza estrazione si verifichi uno dei seguenti eventi.

a) Esca il numero 40.

I casi favorevoli sono 1, i casi possibili sono (90 – 2) = 88 perchè a 90 abbiamo tolti i numeri che già sono usciti, quindi la probabilità è:

P(E) = \frac{1}{88}

b) Esca un numero minore di 30.

Poichè i due numeri già estratti sono entrambi minori di 30, i casi favorevoli sono:

(29-2) = 27, quindi:

P(E)= \frac{27}{88}

Esercizio n° 3

Lanciando in aria 2 monete qual è la probabilità di ottenere una testa e una croce?

I 4 casi possibili sono: Testa-Testa; Testa- Croce; Croce- Testa; Croce – Croce

I casi favorevoli ovviamente sono 2 e cioè Testa – Croce e Croce- Testa. Quindi la probabilità sarà pari a \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Esercizio n° 4

Una scatola contiene 12 cioccolatini: 4 sono fondenti e 8 al latte. Tre cioccolatini vengono estratti a caso dalla scatola uno dopo l’altro. Qual è la probabilità P che i tre cioccolatini estratti siano al latte?

La probabilità che il primo cioccolatino sia al latte è pari a \frac{8}{12}= \frac{2}{3}. Dopo la prima estrazione, nella scatola sono rimasti 11 cioccolatini di cui 7 al latte e quindi la probabilità che la seconda estrazione dia come risultato un cioccolatino al latte (supposto al latte il primo estratto) è pari a \frac{7}{11}. Allo stesso modo, dopo la seconda estrazione sono rimasti 10 cioccolatini di cui 6 al latte; pertanto la probabilità che il terzo cioccolatino estratto sia al latte è pari a \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.

Per il teorema delle probabilità composte, la probabilità che eventi indipendenti si verifichino contemporaneamente è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi; le tre estrazioni costituiscono eventi indipendenti, che devono avvenire contemporaneamente e quindi la probabilità richiesta è pari a:

P = \frac{2}{3} · \frac{7}{11} . \frac{3}{5} = \frac{14}{55}

Esercizio n° 5

Un’urna contiene 10 palline: 6 rosse e 4 bianche. Qual è la probabilità che estraendo due palline dall’urna queste siano rosse?

La probabilità che la prima pallina esca rossa è pari a \frac{6}{10}. Dopo l’estrazione, le palline sono diventate 9 e la prbabilità che anche la seconda sia rossa è \frac{5}{9}. Quindi la probabilità totale è \frac{6}{10} · \frac{5}{9} = \frac{1}{3}.

Esercizio n° 6

Qual è la probabilità che, lanciando due dadi da gioco tradizionali, la somma delle facce sia uguale a 3?

La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento e il numero di casi possibili. Si tratta quindi di valutare quanti sono i casi favorevoli, sapendo che i casi possibili sono 36 = 6 · 6. I casi possibili sono due e cioè : 1 + 2 e 2 + 1.

La probabilità dell’evento è P = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

Esercizio n° 7

Considera il lancio di un dado e riconosci quali coppie di eventi sono incompatibili e quali compatibili.

a) E_{{1}}: Uscita di un numero pari

E_{{2}}: Uscita di un multiplo di 5

Poichè l’unico multiplo di 5 che si può ottenere è 5 stesso, che non è un numero pari, il verificarsi di un evento esclude l’altro, quindi i due eventi sono incompatibili.

b) E_{{1}}: Uscita di un multiplo di 2

E_{{2}}: Uscita di un multiplo di 3

I multipli di 2 che si possono ottenere sono: 2, 4, 6.

I multipli di 3 che si possono ottenere sono : 3 e 6.

Poichè l’uscita del numero 6 è comune ai due eventi, il verificarsi di E_{{1}}  non esclude il verificarsi di E_{{2}}, quindi i due eventi sono compatibili.

Esercizio n°8

Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi incompatibili.

Calcola la probabilità dell’evento E: uscita del numero 5 o di un numero pari nel lancio di un dado.

Svolgimento

Gli eventi parziali sono:

E_{{1}}: uscita del un numero 5

P(E_{{1}})= \frac{1}{6}

E_{{2}}: uscitas di un numero pari

P(E_{{2}}) = \frac{3}{6}

I due eventi sono incompatibili, quindi:

P(E)= \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Esercizio n° 9

Calcola la probabilità dell’evento totale di due eventi compatibili.

Calcola la probabilità dell’evento E: estrarre una rosa o un fiore rosso da un mazzo di fiori formato da 5 rose rosse, 6 rose gialle, 4 garofani rossi e 4 garofani bianchi.

Svolgimento

Gli eventi parziali sono:

E_{{1}}: estrazione di una rosa

E_{{2}}: estrazione di un fiore rosso

I due eventi sono compatibili: è possibile estrarre una rosa rossa.

Le rose sono (5 + 6) = 11

I fiori rossi sono (5 + 4) = 9

I fiori sono in tutto (5+ 6+ 4+ 4) = 19

P(E_{{1}})= \frac{11}{19}                       P(E_{{2}}) = \frac{9}{19}

Indicato con  l’evento: estrazione di una rosa rossa, si ottiene:

P(E_{{3}}) = \frac{5}{19}     per cui:

P(E) = \frac{11}{19} + \frac{9}{19} – \frac{5}{19} = \frac{15}{19}   Dobbiamo togliere \frac{5}{19} perchè la probabilità di estrarre una rosa rossa già è presente nella probabilità di estrarre un fiore rosso.

 

 

Esercizi sugli eventi casuali e sulla probabilità

Esercizi sugli eventi casuali e sulla probabilità

Esercizio n° 1

Per ciascuno degli avvenimenti descritti, riconosci se è casuale-

a) Domani, durante le estrazioni del lotto, il mio numero uscirà sulla ruota di Cagliari.

L’estrazione di un numero del lotto è un avvenimento casuale.

b) Domani sulla Pianura Padana nevicherà.

Il fatto che nevichi dipende  da molti fattori per nulla casuali; quindi l’avvenimento non è casuale.

c) Fra tre giorni, se prendo un bel voto in Matematica, andrò in montagna a sciare.

L’ avvenimento non dipende dal caso, quindi non è casuale.

Esercizio n° 2

Stabilisci quali eventi sono certi, quali impossibili e quali incerti.

a) Uscita di un numero maggiore di 6 nel lancio di un dado.

Essendo 6 il numero più grande che si può ottenere, l’evento considerato è impossibile.

b) Estrazione di una pallina rossa da un’urna contenente palline bianche e palline rosse.

Estraendo una pallina, questa può essere sia rossa sia bianca, quindi si tratta di un evento incerto.

c) Vincita di un premio in un banco di beneficenza in cui a ogni biglietto è abbinato un premio.

Poichè a ogni biglietto è abbinato un premio, si ha la certezza di vincere un premio. L’evento considerato è certo.

 

 

Esercizi sulle equazioni di 2° grado

Esercizi sulle equazioni di 2° grado

Esercizio n° 1

Risolvi le equazioni di 2° grado pure.

a) 2x² – 8 = 0

Si trasporta il termine noto al secondo membro:

2x² = 8

si divide per il coefficiente di x²:

x²=  \frac{8}{2} = 4

4 > 0, l’equazione ammette due soluzioni opposte:

x = ± \sqrt{4} = ± 2

b) – 4 – 5x² = 3x² – 11

Si trasportano i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo:

– 5x² – 3x² = – 11 + 4

-8x² = – 7

8x² =  7

x² = \frac{7}{8}

essendo \frac{7}{8} > 0 ci sono due soluzioni opposte x = ± \sqrt{\frac{7}{8}}

c) (2x + 2)² + 7x – 3(x + 1) = 12x + 5

4x² + 8x + 4 + 7x – 3x – 3 = 12x + 5

4x² + (8 + 7 – 3 – 12) x =  +5 – 4 + 3

4x²  = +4

x² = \frac{4}{4} = 1

x = ± \sqrt{1} = ± 1

d) \frac{3x ^{2} - 40}{4} – \frac{4 - x ^{2} }{2} – 12 = \frac{(x -1)(x + 1) }{4} + \frac{5}{4}

\frac{3x ^{2} - 40}{4} – \frac{4 - x ^{2} }{2} – 12 = \frac{x ^{2} - 1}{4}   + \frac{5}{4}           m.c.m (2; 4) = 4

\frac{3x ^{2} - 40}{4} – \frac{8 - 2x ^{2} }{4} –  \frac{48 }{4} = \frac{x ^{2} - 1}{4} + \frac{5}{4}         il denominatore si può eliminare

3x² – 40 – (8 – 2x²) – 48 = x² – 1 + 5

3x² – 40 – 8 + 2x² – 48 = x² – 1 + 5

3x² + 2x² -x² = – 1 + 5 + 40 + 8 + 48

(3 + 2 – 1) x² = 100

4x²= 100   ⇒  x² = \frac{100 }{4} = 25

x = ± \sqrt{25} = ± 5

Esercizi sulle soluzioni delle equazioni di primo grado

Esercizi sulle soluzioni delle equazioni di primo grado

Esercizio n° 1

Esegui la verifica di ciascuna equazione di cui è fornita la soluzione.

a) 15x – 5x + 9 = 5x + 24                     soluzione x = 3

1° membro:

15 · 3 – 5 · 9 + 9 = 45 – 15 + 9 = 39

2° membro:

5 · 3 + 24 = 15 + 24 = 39

1° membro = 2° membro

quindi x = 3 è la soluzione

b) 3x + 8 = 9 – x + 3x                     soluzione x = – 2

1° membro:

3 · (-2) + 8 = – 6 + 8 = + 2

2° membro :

9 – (-2) + 3 · (-2) = 9 + 2 – 6 = + 5

1° membro ≠ 2° membro

quindi x = – 2 non è la soluzione

Esercizio n° 2

Risolvi e discuti le equazioni

a) 2x – 5 = 3x – 4

2x – 3x = -4 + 5

-x = +1  ⇒ x = -1    La soluzione è determinata e ammette la soluzione x = – 1

b) 5 – 3x = 2(x + 3) -1

5 – 3x = 2x + 6 – 1

– 3x – 2x = + 6 – 1 – 5

-5x = 0      L’equazione è determinata e ammette la soluzione x = 0

c) – 3x + n5x = 2(x-4)

-3x + 5x = 2x – 8

-3x + 5x – 2x = -8

0x = -8

L’equazione non ha soluzioni e si dice impossibile.

d) 2 – 5x = -3 -5(x – 1)

2 – 5x = -3 – 5x + 5

-5x + 5x = -3 + 5 – 2

0x = 0          L’equazione ammette infinite soluzioni e si dice indeterminata.

e) 2 (x + 5) – 12 + 3(5 – x) = 2(x – 1) – 3(x – 5)

2x + 10 – 12 + 15 – 3x = 2x – 2 – 3x + 15

2x – 3x – 2x + 3x = -2 + 15 – 10 + 12 – 15

(2 -3 – 2) x = 0

0x = 0         L’equazione ammette infinite soluzioni e si dice indeterminata.

f)  \frac{4x + 3}{12} –  \frac{2x+1}{4} =  \frac{x - 1}{3} –  \frac{3x + 1}{6}          m.c.m (3; 4; 6; 12) = 12

 \frac{4x + 3- 6x - 3}{12} =  \frac{4x -1- 6x - 2}{12}         il 12 lo possiamo eliminare moltiplicando entrambe i membri per 12

4x + 3 – 6x – 3 = 4x – 1 – 6x – 2

0 = -3          L’equazione non ha soluzioni e si dice impossibile.

 

 

Equazioni

Equazioni

Esercizio n° 1

Risolvi le equazioni a coefficienti interi.

a) 3x – 2 + 10 = 4 – 2x + 7x

Si applica la legge del trasporto portando i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo:

3x + 2x – 7x = 4 + 2 – 10

si riducono i termini simili:

– 2x = – 4

si cambiano tutti i segni dei termini:

2x = + 4

si divide per il coefficiente della x:

x = + \frac{4}{2} = + 2

b) 2x – 5(x – 4) + 3 = 2(x – 1) + 8

Si eliminano le parentesi svolgendo i calcoli:

2x – 5x + 20 + 3 = 2x – 2 + 8                      il 2x si possono eliminare perchè si trova sia al 1° che al 2° membro

– 5x + 20 + 3 = – 2 + 8

si trasportano i termini noti al secondo membro:

– 5x = – 2 + 8 – 20 – 3

si riducono i termini simili:

– 5x = – 17

si cambia di segno:

5x = + 17

si divide per il coefficiente della x:

x = + \frac{17}{5}

c) 7 – (8x + 2) – 3(3 – 5x) = 4 + 5(2x – 1)

7 – 8x – 2 – 9 + 15x = 4 + 10x – 5

– 8x + 15x – 10x = 4 – 5 – 7 + 2 + 9

-3x = + 3

3x = – 3

x = -\frac{3}{3} = – 1

d) 3x –  [ – 2 (x – 7) + 3x + 9] = 5(2x + 5) + 1 – 4(1 – 3x)

3x –  [ – 2x + 14+ 3x + 9] = 10x +25 + 1 – 4 +12x

3x   + 2x – 14- 3x – 9 = 10x +25 + 1 – 4 +12x

3x  + 2x – 3x – 10x – 12x =  +25 + 1 – 4  + 14 + 9

– 20x = 45

20 x=  – 45

x = -\frac{45}{20} =- \frac{9}{4}

e) 4x – 2 { –    [ -6 (4 – x) + 25 – 5(2x + 3)] } = 3(3 – x) + 8 – 2(x + 4)

4x – 2 { –  [- 24 + 6x + 25 – 10x -15] } = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x – 2 {+ 24 -6x – 25 + 10x +15 } = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x – 48 +12x +50 -20x – 30 = 9 – 3x + 8 – 2x – 8

4x + 12x  -20x +3x +2x = 9  + 8  – 8 + 48 – 50 +30

x  = 37

Esercizio n° 2

Risolvi le equazioni a coefficienti frazionari.

a) \frac{4}{5}x – \frac{2}{3} = \frac{1}{2}x + \frac{5}6}                     m.c.m (2; 3 ; 5 ; 6) = 30

equazioni

24x – 20 = 15x + 25

24x – 15x = 25 + 20

9x = 45

x = \frac{45}{9} = 5

b) \frac{2x + 1}{10} – \frac{1 - 3x}{5} + \frac{x - 1}{2} – 2 = 0                            m.c.m. (2 ; 5 ; 10) = 10

equazioni 1

2x + 1 – 2 (1 – 3x) + 5 (x – 1) – 20 = 0

2x + 1 – 2 + 6x + 5x – 5 – 20 = 0

2x + 6x + 5x = – 1 + 2 + 5 + 20

13x = 26

x = \frac{26}{13} = 2

c) \frac{2}{7} (\frac{x}{4} – \frac{1}{2}) – \frac{1}{2} (x + 3) = 3 ( \frac{1}{7} – \frac{x}{2}) – 1                          m.c.m.(2; 4; 7) = 28

equazioni 2

2 (x – 2) – 14 (x + 3) = 6 (2 – 7x ) – 28

2x – 4 – 14x – 42 = 12 – 42x – 28

2x – 14x + 42x = 12 – 28 + 4 + 42

30x = 30

x = \frac{30}{30} = 1

d) \frac{1}{2} [ \frac{1}{2} (2x – \frac{1}{2}) – \frac{x}{2}  ] = 2 (\frac{x}{2} – \frac{1}{2}) + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [ \frac{1}{2} ( \frac{4x - 1}{2}) – \frac{x}{2}] = 2 ( \frac{x - 1}{2}) + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{4x - 1}{4} – \frac{x}{2}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{4x - 1-2x}{4}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{1}{2} [\frac{2x - 1}{4}] = x – 1 + \frac{1}{8}

\frac{2x - 1}{8} =  x – 1 + \frac{1}{8}                       m.c.m. = 8

equazioni 3

2x – 1 = 8x – 8 + 1

2x – 8x = -8 + 1 +1

– 6x = – 6

6x = + 6

x = \frac{6}{6} = 1

e) \frac{\frac{x + 1 }{3}- \frac{2(x + 1)}{9}}{\frac{1}{3}-1} = \frac{x-2}{3}

\frac{ \frac{3(x +1)-2(x + 1)}{9}}{\frac{1-3}{3}}} = \frac{x-2}{3}

\frac{ \frac{3x +3-2x -2}{9}}{-\frac{2}{3}}} = \frac{x-2}{3}

 \frac{x +1}{9} :( - \frac{2}{3} )= \frac{x-2}{3}

 

 \frac{x +1}{9} · (- \frac{3}{2}) = \frac{x-2}{3}

 \frac{x +1}{3} · (- \frac{1}{2}) = \frac{x-2}{3}

- \frac{x +1}{6} = \frac{x-2}{3}                      m.c.m.(3; 6) = 6

- \frac{x +1}{6} =  \frac{2x-4}{6}       il denominatore si può eliminare come se moltiplicassimo entrambe i membri per 6

– x – 1 = 2x – 4

– x – 2x = + 1 – 4

– 3x = – 3  ⇒  3x = 3 ⇒  x = \frac{3}{3} = +1

Esercizio n° 3

Risolvi le equazioni riducibili a equazioni di 1° grado.

a) (x – 1) (x + 1) – x(x – 2) = 3 (x + 2) + 4        Si eliminano le tonde svolgendo i calcoli

x² – 1 – x² + 2x = 3x + 6 + 4                              i termini con x² si possono eliminare:

2x – 3x = 6 + 4 + 1

– x = + 11

x = – 11

b) (2x – 1)² + 1 – 2(3 – x) = – (2x + 1) (2 – x) – 2x ( 1 – x)

4x² – 4x + 1 + 1 – 6 + 2x = – (4x – 2x² + 2 – x) – 2x + 2x²

4x² – 4x + 1 + 1 – 6 + 2x = – 4x + 2x² – 2 + x – 2x + 2x²

Si trasportano i termini con la x al primo membro e i termini noti al 2°:

4x² + 2x – 2x² – x + 2x – 2x² = -2 – 1 – 1 + 6

si riducono i termini simili:

(4 – 2 – 2)x² + (+2 -1 + 2)x = + 2

3x = + 2

x = \frac{2}{3}

 

 

 

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Data l’equazione 6x – 4 = 4x, la cui soluzione è x = 2, applica il 2° principio di equivalenza secondo quanto indicato e verifica che ottieni un’equazione equivalente.

a) Moltiplica entrambi i membri per – 3.

– 3(6x – 4) = – 3(4x)

-18x + 12 = 12x

Ponendo x = 2 si ottiene:

– 18(2) + 12 = – 12(2)

– 36 + 12 = – 24                       – 24 = – 24

L’equazione è equivalente a quella data.

b) Dividi entrambi i membri per 2.

(6x – 4) : 2 = (4x) : 2

3x – 2 = 2x

Per x = 2 si ottiene:

3(2) – 2 = 2 (2)

6 – 2 = 4                                   4 = 4

L’equazione è equivalente a quella data.

Esercizio n° 2

Per ciascuna equazione, scrivene altre due a essa equivalenti applicando il 2° principio di equivalenza.

a) 3x – 3 = 6x         moltiplico entrambi i membri per 3

3 (3x – 3) = 3 (6x)

9x – 9 = 18 x

b) 2 – 10x = 4x – 12    divido entrambi i membri per 2

(2 – 10x) : 2 = (4x – 12) : 2

1 – 5x = 2x – 6

Esercizio n° 3

Trasforma l’equazione data in un’altra equivalente con coefficienti interi.

a) \frac{5}{4}x – \frac{1}{2} = 3x + \frac{1}{3}           Si moltiplicano entrambi i membri per il m.c.m. (2; 3; 4) = 12

12 · \frac{5}{4} x – 12 · \frac{1}{2} = 12 · 3x + 12  ·\frac{1}{3}

15 x – 6 = 36 x + 4

b) \frac{1}{4}x – \frac{5}{6} =\frac{1}{2} x +  \frac{1}{3}                 Si moltiplicano entrambi i membri per il m.c.m (2; 3; 4; 6) = 12

12 · \frac{1}{4}x – 12 · \frac{5}{6} = 12 · \frac{1}{2} x  + 12 · \frac{1}{3}           Semplificando si ottiene:

3x – 10 = 6x +4

c) \frac{3}{5} x – \frac{2}{3} = 2x – \frac{1}{5}                        Si moltiplicano entrambi i membri per il m.c.m (3 ; 5 ) = 15

15 · \frac{3}{5}x – 15 · \frac{2}{3} = 15 · 2x – 15 ·\frac{1}{5}                     Semplificando si ottiene:

9x – 10 = 30x – 3

Vedi esercizi primo principio di equivalenza

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Considera l’equazione 6x + 3 = 9x, la cui soluzione è x = 1, applica il 1° principio di equivalenza secondo quanto imndicato e verifica che ottieni nun’equazione equivalente.

a) Addiziona a entrambi i membri 5

6x + 3 + 5 = 9x + 5

Ponendo x = 1 si ottiene:

6(1) + 3 + 5 = 9(1) + 5

6 + 3 + 5 =  9 + 5                   14 = 14

x = 1 è la soluzione, quindi l’equazione è equivalente a quella data.

b) Sottrai a entrambe i membri 4x.

6x + 3 – 4x = 9x – 4x

Ponendo x = 1 si ottiene:

6(1) + 3 – 4(1) = 9(1) – 4(1)

6 + 3 – 4 = 9 – 4                           5 = 5

Si è ottenuta un’equazione equivalente a quella data.

Esercizio n° 2

In ciascuna equazione, porta i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo, applicando la regola del trasporto.

a) 4x – 6  = 8 – 3x

Per la legge del trasporto è possibile trasportare un termine da un membro all’altro purchè lo si cambi di segno, quindi si ottiene:

4x + 3x = 8 + 6

7x = 14

b) 4 – 7x + 11 = 3 – 5x

Per vla legge del trasporto è possibile trasdportare un termine da un membro all’altro purchè lo si cambi di segno, quindi si ottiene:

– 7x + 5x = 3 – 4 – 11

– 2x = – 12

c) 6x – 2 + 2x = 4x – 7

6x – 4x  + 2x = – 7 + 2

4x = – 5

d) – 8x + 11 – 3x = 15 – 5x

– 8x – 3x + 5x = + 15 – 11

– 6x = + 4

e) 9 – 24x = – 3x + 12 – 11x

– 24x  + 3x + 11x = – 9 + 12

– 10x = + 3

Esercizio n° 3

Stabilisci quali termini si possono eliminare e scrivi l’equazione che si ottiene.

a)– 4x – 5 + 8x = 4x + 3 + 8x

E’  possibile eliminare termini uguali presenti in entrambi i membri; + 8x è presente in entrambi i membri , quindi l’equazione diventa:

– 4x – 5 = 4x + 3

b) – 5x – 7 + 8x = 7 – 4x – 5x

-7 + 8x = 7 – 4x

c) x – 5 + 6x – 4 = 6x + 5 – 4

x – 5 – 4 = + 5 – 4

Vedi esercizi secondo principio di equivalenza

Esercizi sulle equazioni

Esercizi sulle equazioni

Esercizio n° 1

Stabilisci quale dei due valori attribuiti alla lettera x è soluzione dell’equazione.

a) 12 – ( 8 – 2x) = 5x + 10                x = 0;     x = -2

Attribuendo alla x il valore 0, si ottiene:

1° membro             12 – ( 8 – 2· 0) = 12 – (8 – 0) = 12 – 8 = 4

2° membro            5 · 0 + 10 = 0 + 10 = 10

Le due espressioni non hanno lo stesso valore, quindi:   x = 0 non è una soluzione

Attribuendo alla x il valore – 2 si ottiene :

1° membro             12 -[ ( 8 – 2·(-2)] = 12 – (8 + 4) = 12 – 12= 0

2° membro            5 · (-2) + 10 =- 10 + 10 =0

Le due espressioni  hanno lo stesso valore, quindi:   x = -2  è una soluzione.

b) 4x – 9 = 5 – 2x             x = 2

1° membro       4 · 2 – 9 =8 – 9 = – 1

2° membro        5 – 2  · 2 = 5 – 4 = 1

Le due espressioni non hanno lo stesso valore, quindi:   x = 2 non è una soluzione.

c) 3 + x = 5 (1 – 3x)              x = 0

1° membro       3 + 0 = 3

2° membro        5 (1 – 3 · 0) = 5 (1) = 5

Le due espressioni non hanno lo stesso valore, quindi:   x = 0 non è una soluzione.

d) 3x² – 5x = 2              x = 2

1° membro       3 ( 2)² – 5 (2) =  3 · 4 – 10 = 12 – 10 = 2

2° membro      2

Le due espressioni  hanno lo stesso valore, quindi:   x = 2  è una soluzione.

Esercizio n° 2

Stabilisci il tipo di equazione.

a ) \frac{2}{3} x – 5 = \frac{5}{4} + x                 L’incognita x non è al denominatore, quindi l’equazione è intera.

b) \frac{4}{x} – 3x = 5                           L’incognita x  è al denominatore, quindi l’equazione è fratta.

Esercizio n° 3

Considera l’equazione 4x – 2 = 10, la cui soluzione è x = 3, stabilisci per ciascuna delloe seguenti equuazioni se sono a essa equivalenti.

a) 4 – x = 3x + 2

Per essere vequivalenti deve avere la stessa soluzione ; sostituendo alla x il valore x = 3 si ottiene:

4 – 3 = 3 · (3) + 2

1 = 9 + 2                         1 = 11

L’uguaglianza non è vera, quindi x = 3 non è una soluzione; pertanto le due equazioni non sono equivalenti.

b) 5x – 4 = 2x + 5

Ponendo x = 3 si ottiene:

5 (3) – 4 = 2 (3) + 5

15 – 4 = 6 + 5                        11 = 11

L’uguaglianza è vera, quindi x = 3 è soluzione; le due equazioni sono equivalenti.

Esercizi sulle uguaglianze

Esercizi sulle uguaglianze

Esercizio n° 1

Trasforma ciascuna frase in un’uguaglianza letterale.

a) La somma tra il doppio di un numero e 3 è uguale al quadruplo del numero stesso.

Se si indica il numero con x si ottiene:

doppio del numero  = 2x                       quadruplo del numero = 4x

L’uguaglianza letterale è : 2x + 3 = 4x

b) Il quadrato di un numero diminuito del numero stesso è uguale al triplo del numero aumentato di 5

L’uguaglianza letterale è : x² – x = 3x + 5

c) Il doppio di un numero diminuito di 5 è uguale al numero stesso.

L’uguaglianza letterale è : 2x – 5 = x

d) La somma di un numero e del suo quadrato è uguale a 2.

L’uguaglianza letterale è :  x + x² = 2

e) La differenza tra il quadrato di un numero e il numero stesso è uguale al triplo del numero.

L’uguaglianza letterale è :  x² – x = 3x

f) Il cubo della differenza tra il quadrato di un numero e il numero stesso è uguale al doppio del numero diminuito di 3.

L’uguaglianza letterale è : (x² – x)³ = 2x – 3

Esercizio n° 2

Eseguendo i calcoli stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono identità.

a) 2(2a – 1) = 4a – 2

Svolgendo i calcoli si ottiene:

4a – 2 = 4a – 2

L’uguaglianza è un’identità perchè le due espressioni sono identiche.

b) 3(a + 7) = a + 3

Svolgendo i calcoli si ottiene:

3a + 21 = a + 3

Le due espressioni non sono identiche, quindi l’uguaglianza non è un’identità.

c) (a + b)² – 4ab = a² – b (2a – b)                                             (a + b)² = a² +2ab + b²

Svolgendo i calcoli si ottiene:

a² +2ab + b² – 4ab = a² -2ab + b²

a² -2ab + b² = a² -2ab + b²

L’uguaglianza è un’identità.

d) (a + 2b)x – 5bx = (a – 3b)x

ax + 2bx – 5bx = ax – 3bx

ax – 3bx =  ax – 3bx                E’ un’identità

e) (2a + 1) (-6a² – 5a + 3) = -4a²(3a – 4) + a + 3

-6a³ -10a² + 3a -6a² -5a + 3 =  – 12a³ – 16a² + a + 3

-6a³ -16a² -2a +3 = – 12a³  – 16a² + a + 3     Non è un’identità

f) (2x + 2)² = 2(x + 1)² + 2(x + 1)²

4x² + +8x + 4 = 2(x² + 2x + 1) + 2( x² + 2x + 1)

4x² + +8x + 4 = 2x² + 4x + 2 + 2x² + 4x +2

4x² + +8x + 4 = 4x² + +8x + 4                  E’ un’identità

Esercizio n° 3

Sostituendo la lettera x i valori assegnati, stabilisci se le uguaglianze sono identità o equazioni.

a) 3(5- 2x) = 2x + 15 – 8x                        x = 0 ; -1  ; +3

x = 0        

3(5 – 2·0) = 2 · 0 + 15 – 8 · 0

3(5 – 0) = 0 + 15 – 0                15 = 15

x = – 1

3(5 + 2) = -2 + 15 + 8

3 · 7 = 21                                    21 = 21

x = + 3

3 ( 5 – 6) = 6 + 15 – 24

3 ( – 1) = – 3                              -3 = -3

L’uguaglianza è sempre verificata, quindi è un’identità.

b) 3x – (x – 3) = 21 – x             x = 0 ; -2 : +6

x = 0

0 – ( 0 – 3) = 21 – 0

0 – (-3) = 21                                3 ≠ 21

x = -2 

– 6 – (-2 -3) = 21 – (-2)

– 6 + 5 = 21 + 2                          – 1 ≠ 23

x = + 6

18 – (6 – 3) = 21 – 6

18 – 3 = 15                                    15 = 15

L’uguaglianza è verificata solo per x = 6, quindi è un’equazione.

 

 

 

Espressioni di polinomi

Espressioni di polinomi

Esercizio n° 1

Risolvi le seguenti espressioni.

a) (-3a² + 12a) : (-3a) – 3(a – 5) =

=- 3a² : (-3a) + 12a : (-3a) -3a -3 (-5)=

= + a – 4 – 3a + 15 = a(+1 -3) -4 + 15 = -2a +11

b) (8a ^{4}b ^{2}-6a ^{2}b) : (-2ab) - (5a ^{3}b + 10a ^{4}b ^{2}):(-5a ^{2}b)=

<br /><br /><br /><br /><br />
(8a ^{4}b ^{2}): (-2ab)+ (-6a ^{2}b) : (-2ab)- [(5a ^{3}b):(-5a ^{2}b) + 10a ^{4}b ^{2}):(-5a ^{2}b)] =

-4 a ^{4-1}b ^{2-1} + 3a ^{2-1}b ^{1-1}  –  [-a ^{3-2}b ^{1-1}-2a ^{4-2}b ^{2-1}] =

=-4 a ^{3}b ^{1} + 3a ^{1}b ^{0}   –  [-a ^{1}b ^{0}-2a ^{2}b ^{1}]  =

=  -4 a ^{3}b  + 3a   –  [-a -2a ^{2}b] =

=  -4 a ^{3}b  + 3a +a +2a ^{2}b =  -4 a ^{3}b   +a(3+1) +2a ^{2}b =

-4 a ^{3}b   + 4a +2a ^{2}b

3)[3a ( a² – b²) – 2a²(-6a + 3) ] : (-3a) =

= [3a ( a²)  +3a ( – b²) – 2a²(-6a ) – 2a²(+ 3) ] : (-3a) =

= [3a³  – 3ab² +12a³ – 6a² ] : (-3a) =

=  [a³(3 + 12) – 3ab²  – 6a² ] : (-3a) =

= (15 a³- 3ab²  – 6a²) : (-3a) =

= (15 a³) :(-3a)+( – 3ab²) :  (-3a)+ ( – 6a²) : (-3a) =

= – 5a² +b² + 2a

4) (\frac{1}{3}x ^{4}-5x ^{3}+2 x^{2}): (-\frac{1}{3}x ^{2}) -(\frac{1}{2} x^{3}+6x ^{2}): (-\frac{2}{3}x) =

\frac{1}{3}x ^{4}: (-\frac{1}{3}x ^{2})+(-5x ^{3}): (-\frac{1}{3}x ^{2})+2 x^{2}: (-\frac{1}{3}x ^{2})  -[\frac{1}{2} x^{3}: (-\frac{2}{3}x)+6x ^{2}: (-\frac{2}{3}x)]<br /><br /><br /><br /><br />
 =

\frac{1}{3} (-3)x ^{4-2}+(-5) (-3)x ^{3-2}+2  (-3)x ^{2-2}-[\frac{1}{2}  (-\frac{3}{2})x ^{3-1}+6(-\frac{3}{2}x ^{2-1} )]=

-x ^{2}+15x-6 -[-\frac{3}{4}  x ^{2}-9x  ] =

=-x ^{2}+15x-6 +\frac{3}{4}  x ^{2}+9x   =  x²(-1 +\frac{3}{4}  ) + x(15 + 9) – 6 =

= – \frac{1}{4}   x² + 24x –  6

Esercizio n° 2

Esegui le seguenti espressioni con la somma per differenza.

a) (3a – 2b)(3a + 2b) – 9a(a – b) =                                   (3a – 2b)(3a + 2b)= somma per differenza

Si eseguono prima le moltiplicazioni applicando se è possibile le regole studiuate:

= 9a² -4b² – 9a² + 9a²b =  -4b²  + 9a²b

b) 20 + (a – 2) (a + 2) (a² + 4) – (a – 3) (a + 3) =                        (a – 2) (a + 2) = a² – 4

= 20 + (a² – 4) (a² + 4) – (  a² – 9)  =                                            (a – 3) (a + 3) = a² – 9

= 20 + a ^{4} – 16   –  a² + 9  =                                                              (a² – 4) (a² + 4) = a ^{4} – 16

=   + a ^{4}   –  a² + 13

c) ( \frac{4}{3} a – b) (\frac{4}{3}a + b) + 4b (\frac{3}{8}b – 1) + 4(a – b) – (4a – b) – a² =              ( \frac{4}{3} a – b) (\frac{4}{3}a + b) = \frac{16}{9}a² – b²

\frac{16}{9}a² – b² +  4b (\frac{3}{8}b) + 4b (-1) + 4a + 4(-b) -4a + b – a² =

\frac{16}{9}a² – b² + \frac{3}{2} b² – 4b + 4a – 4b – 4a + b – a² =

= a² (\frac{16}{9} – 1) + b²(- 1  + \frac{3}{2}) + b(-4 -4 + 1) + a(4 – 4) =

= a² (\frac{16-9}{9}) + b²( \frac{-2+3}{2}) – 7b =

\frac{7}{9}a²+  \frac{1}{2} b² – 7b

Esercizio n° 3

Esegui le seguenti espressioni con i prodotti notevoli.

a) (x² + 3y)(x² – 3y) – (x² + 3y)² – (2x – y)³ =                                            (x² + 3y)(x² – 3y) = somma per differenza

x ^{4} – 9y² – (x ^{4} + 6x²y + 9y²) – ( 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³) =                  (x² + 3y)² = quadrato di un binomio

x ^{4} – 9y² – x ^{4} – 6x²y – 9y²) –  8x³ + 12x²y – 6xy² + y³ =                        (2x – y)³ = cubo di un binomio